Question

直角坐標系中，正方形OABC的邊OC、OA分別在x軸、y軸上，A點的坐標為（O，4）．
（1）如圖1，將正方形OABC繞點O順時針旋轉30°得正方形ODEF，邊DE交BC于G，求G點坐標．
（2）如圖2，⊙O₁與正方形ABCO四邊都相切，直線MQ切⊙O₁于P，分別交y軸、x軸、線段BC于M、N、Q．求證：O₁N平分∠MO₁Q．
（3）如圖3，點H與點B關于y軸對稱，T為CA延長線上一點，TS為過T、H、A的⊙O₂直徑，對于結論：①AT+AS；②AT-AS．其中只有一個正確，請作出判斷并證明你的結論，求出其值．

Answer 1

（1）解：連接OG，如圖①，
∵正方形OABC繞點O順時針旋轉30°得正方形ODEF，
∴∠AOD=30°，OD=AB，
∴∠DOC=60°，
∵OD=OC，∠D=∠OCG，OG公共，
∴Rt△ODG≌Rt△OCG，
∴∠DOG=∠COG，
∴∠COG=30°，
∵A點的坐標為（O，4），四邊形OABC為正方形，
∴OC=OA=4，
∴CG=OC=，
∴G點坐標為（4，）；

（2）證明：∵BQ∥AM，
∴∠BQM+∠AMQ=180°，
根據切線長定理，∠O₁QM+∠O₁MQ=180°×=90°，
∴∠MO₁Q=180°-90°=90°，
由切線長定理∠NO₁Q=45°，
∴O₁M平分∠MO₁Q；

（3）解：AT-AS的值是定值為4．
在AT上取點V，使TV=AS，即AT-AS=AV，
∵AS⊥AC，
∴∠THS=∠TAS=90°，
∵H（-4、4），A（0、4），
∴AH⊥AO；
又∵∠OAC=45°，
∴∠TAH=45°，
∵∠THS=∠TAS=90°，
∴∠TSH=45°，
∴HT=HS；
又∠HTV=∠HSA，TV=AS，
∴△HTV≌△HSA，
∴△HAV為等腰直角三角形，
∴AT-AS=AV=4．
分析：（1）連接OG，如圖①．利用圖形的旋轉前后大小不變，可得出三角形全等．
（2）由切線長定理證得∠MO₁Q=90°，由切線長定理或其他方法證得∠NO₁Q=45°，O₁N平分∠MO₁Q；
（3）在AT上取點V，使TV=AS，構造出全等三角形△HTV≌△HSA，判斷出△HAV為等腰直角三角形，求得AT-AS=AV=4為定值．
點評：本題考查了圓的綜合題．解（3）題時，構造全等三角形，比作輔助線難度要大，但確是一種有效的解題方法．