Question

在平面直角坐標系中，△AOB的位置如圖所示，已知∠AOB=90°，AO=BO，點A的坐標為（-3，1）．
（1）求點B的坐標：
（2）求過A，O，B三點的拋物線的解析式；
（3）設(shè)點C為拋物線上的一點，且A、B、C、O可以構(gòu)成梯形的四個頂點，請直接寫出點C的坐標

（4，22）或（-2，-1）或（-4，

14

3

）

．

Answer 1

分析：（1）過點A作AE⊥x軸于E，過點B作BF⊥x軸于F，根據(jù)點A的坐標求出AE、OE，然后根據(jù)同角的余角相等求出∠AOE=∠OBF，再利用“角角邊”證明△AOE和△OBF全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得AE=OF，OE=BF，再根據(jù)點B在第一象限寫出坐標即可；
（2）設(shè)拋物線解析式為y=ax²+bx，然后把點A、B的坐標代入求出a、b的值即可得解；
（3）分別求出OA、OB、AB的解析式，再根據(jù)梯形的對邊平行分AC∥OB，OC∥AB，BC∥OA三種情況分別寫出過點C的直線的解析式，然后與拋物線解析式聯(lián)立求解即可．

解答：（1）解：過點A作AE⊥x軸于E，過點B作BF⊥x軸于F，
∵A（-3，1），
∴AE=1，OE=3，
∵∠AOB=90°，
∴∠AOE+∠BOF=90°，
∵∠BOF+∠OBF=90°，
∴∠AOE=∠OBF，
在△AOE和△OBF中，

∠AOE=∠OBF ∠AEO=∠OFB=90° AO=BO

，
∴△AOE≌△OBF（AAS），
∴AE=OF=1，OE=BF=3，
∴點B（1，3）；

（2）設(shè)拋物線解析式為y=ax²+bx，
則

9a-3b=1 a+b=3

，
解得

a= 5 6 b= 13 6

，
故，所求拋物線的解析式為y=

5

6

x²+

13

6

x；

（3）易求直線OA的解析式為y=-

1

3

x，
直線OB的解析式為y=3x，
設(shè)直線AB的解析式y(tǒng)=kx+b，
則

-3k+b=1 k+b=3

，
解得

k= 1 2 b= 5 2

，
∴直線AB的解析式為y=

1

2

x+

5

2

，
①AC∥OB時，直線AC的解析式為y=3x+10，
聯(lián)立

y= 5 6 x2+ 13 6 y=3x+10

，
解得

x1=-3 y1=1

（為點A坐標），

x2=4 y4=22

，
∴點C的坐標為（4，22），
②OC∥AB時，直線OC的解析式為y=

1

2

x，
聯(lián)立

y= 5 6 x2+ 13 6 y= 1 2 x

，
解得

x1=-2 y1=-1

，

x2=0 y2=0

（為點O坐標），
∴點C的坐標為（-2，-1）；
③BC∥OA時，直線BC的解析式為y=-

1

3

x+

10

3

，
聯(lián)立

y= 5 6 x2+ 13 6 x y=- 1 3 x+ 10 3

，
解得

x1=1 y1=3

（為點B的坐標），

x2=-4 y2= 14 3

，
∴點C的坐標為（-4，

14

3

），
綜上所述，點C的坐標為（4，22）或（-2，-1）或（-4，

14

3

）．

點評：本題是二次函數(shù)綜合題型，主要利用了全等三角形的判定與性質(zhì)，待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，梯形的兩底邊互相平行，難點在于（3）要分情況討論．