Question

（2013•路北區(qū)三模）如圖，在△ABC中，已知AB=BC=CA=4cm，AD⊥BC于D，點(diǎn)P、Q分別從B、C兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，其中點(diǎn)P沿BC向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，速度為1cm/s；點(diǎn)Q沿CA、AB向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，速度為2cm/s，設(shè)它們運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為x（s）．
（1）求x為何值時(shí)，PQ⊥AC；
（2）設(shè)△PQD的面積為y（cm²），當(dāng)0＜x＜2時(shí)，求y與x的函數(shù)關(guān)系式；
（3）當(dāng)0＜x＜2時(shí)，求證：AD平分△PQD的面積；
（4）探索以PQ為直徑的圓與AC的位置關(guān)系，請(qǐng)寫(xiě)出相應(yīng)位置關(guān)系的x的取值范圍（不要求寫(xiě)出過(guò)程）．

Answer 1

分析：（1）若使PQ⊥AC，則根據(jù)路程=速度×?xí)r間表示出CP和CQ的長(zhǎng)，再根據(jù)30度的直角三角形的性質(zhì)列方程求解；
（2）首先畫(huà)出符合題意的圖形，再根據(jù)路程=速度×?xí)r間表示出BP，CQ的長(zhǎng)，根據(jù)等邊三角形的三線合一求得PD的長(zhǎng)，根據(jù)30度的直角三角形的性質(zhì)求得PD邊上的高，再根據(jù)面積公式進(jìn)行求解；
（3）根據(jù)三角形的面積公式，要證明AD平分△PQD的面積，只需證明O是PQ的中點(diǎn)．根據(jù)題意可以證明BP=CN，則PD=DN，再根據(jù)平行線等分線段定理即可證明；
（4）根據(jù)（1）中求得的值即可分情況進(jìn)行討論．

解答：解：（1）當(dāng)Q在AB上時(shí)，顯然PQ不垂直于AC，
當(dāng)Q在AC上時(shí)，由題意得，BP=x，CQ=2x，PC=4-x；
∵AB=BC=CA=4，
∴∠C=60°；
若PQ⊥AC，則有∠QPC=30°，
∴PC=2CQ，
∴4-x=2×2x，
∴x=

4

5

；

（2）y=-

3

2

x²+

3

x，
如圖，當(dāng)0＜x＜2時(shí)，P在BD上，Q在AC上，過(guò)點(diǎn)Q作QN⊥BC于N；
∵∠C=60°，QC=2x，
∴QN=QC×sin60°=

3

x；
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴BD=CD=

1

2

BC=2，
∴DP=2-x，
∴y=

1

2

PD•QN=

1

2

（2-x）•

3

x=-

3

2

x²+

3

x；

（3）當(dāng)0＜x＜2時(shí)，在Rt△QNC中，QC=2x，∠C=60°；
∴NC=x，
∴BP=NC，
∵BD=CD，
∴DP=DN；
∵AD⊥BC，QN⊥BC，
∴AD∥QN，
∴OP=OQ，
∴S_△PDO=S_△DQO，
∴AD平分△PQD的面積；

（4）顯然，不存在x的值，使得以PQ為直徑的圓與AC相離，
由（1）可知，當(dāng)x=

4

5

時(shí)，以PQ為直徑的圓與AC相切；
當(dāng)點(diǎn)Q在AB上時(shí)，8-2x=

x

2

，解得x=

16

5

，
故當(dāng)x=

4

5

或

16

5

時(shí)，以PQ為直徑的圓與AC相切，
當(dāng)0≤x＜

4

5

或

4

5

＜x＜

16

5

或

16

5

＜x≤4時(shí)，以PQ為直徑的圓與AC相交．

點(diǎn)評(píng)：此題綜合運(yùn)用了等邊三角形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)以及直線和圓的位置關(guān)系求解．解題的關(guān)鍵是用動(dòng)點(diǎn)的時(shí)間x和速度表示線段的長(zhǎng)度，本題有一定的綜合性，難度中等．