Question

【題目】如圖，已知一次函數(shù)y=mx+5的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（1，4）、B（n ， 2）.

（1）求m、n的值；
（2）當(dāng)函數(shù)圖象在第一象限時(shí)，自變量x的取值范圍是什么？
（3）在x軸上找一點(diǎn)P，使PA+PB最短。求出點(diǎn)P的坐標(biāo).

Answer 1

【答案】
（1）

解：將A（1，4）代入y= mx+5得：

4=m+5

解得：m= -1

∴y= -x+5

將B（n，2）代入y= -x+5得：

2= -n+5

解得：n=3

∴m、 n的值分別是-1、3

（2）

解：依題可得：

∴0＜x＜5

（3）

解：作點(diǎn)A關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)A′

∵A（1，4）

∴A′(1，-4)

連接A′B交x軸于點(diǎn)P，此時(shí)點(diǎn)P為所求的點(diǎn)

設(shè)直線A′B的解析式為y= kx+b，將A′(1，-4)、B（3，2）得：

解得：

∴直線A′B的解析式為：

當(dāng)y=0時(shí)，

解得：

∴P（ ，0）

【解析】（1）將A（1，4）代入y= mx+5得m= -1，所以y= -x+5；再將B（n ， 2）代入y= -x+5得：n=3。
（2）由函數(shù)圖像在第一象限可以得到一個(gè)二元一次方程組,解此方程即可。
（3）作點(diǎn)A（1，4）關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)A′(1，-4)，連接A′B交x軸于點(diǎn)P，此時(shí)點(diǎn)P為所求的點(diǎn)。用待定系數(shù)法的得到一個(gè)二元一次方程組:
.從而求得直線A′B的解析式為：y=3x7 ；令y=0即可求得P（ ，0）.
【考點(diǎn)精析】通過靈活運(yùn)用確定一次函數(shù)的表達(dá)式和軸對稱-最短路線問題，掌握確定一個(gè)一次函數(shù)，需要確定一次函數(shù)定義式y(tǒng)=kx+b（k不等于0）中的常數(shù)k和b．解這類問題的一般方法是待定系數(shù)法；已知起點(diǎn)結(jié)點(diǎn)，求最短路徑；與確定起點(diǎn)相反，已知終點(diǎn)結(jié)點(diǎn)，求最短路徑；已知起點(diǎn)和終點(diǎn)，求兩結(jié)點(diǎn)之間的最短路徑；求圖中所有最短路徑即可以解答此題．