Question

過半徑為r的圓O的直徑AB上一點P，作PC⊥AB交圓周于C．若要以PA、PB、PC為邊作三角形，求OP長的范圍．

Answer 1

分析：不失一般性，令P在OB上，且x=OP＞0，若以AP、BP、PC為邊作三角形，只須BP+PC＞AP，即PC＞r+x-r+x=2x，再根據(jù)PC²＞4X²，解得OP長的范圍．

解答：解：不失一般性，令P在OB上，
且x=OP＞0，
則有AP＞BP，AP＞PC．
若以AP、BP、PC為邊作三角形，
結合上面條件，
只須BP+PC＞AP，即PC＞r+x-r+x=2x，
又PC＞0，x≥0，
∴PC²＞4x²，（1）
又PC²=AP•BP=（r+x）（r-x）=r²-x²．
代入（1）得r²-x²＞4x²，
解得：-

5

5

r＜x＜

5

5

r．
∴OP的取值范圍是0≤x＜

5

5

r．

點評：本題主要考查垂徑定理和三角形三邊的關系的知識點，解答本題的關鍵是數(shù)形結合，此題有一定的難度．