Question

如圖1，以△ABC的邊AB、AC為邊分別向外作等腰直角△ABD和等腰直角△ACE，連接CD、BE、DE
（1）證明：△ADC≌△ABE；
（2）試判斷△ABC與△ADE面積之間的關(guān)系，并說(shuō)明理由；
（3）園林小路，曲徑通幽，如圖2所示，小路由白色的正方形大理石和黑色的三角形大理石鋪成，已知中間的所有正方形的面積之和是a平方米，內(nèi)圈的所有三角形的面積之和是b平方米，這條小路一共占地______平方米．（不用寫過(guò)程）

Answer 1

解：（1）證明：∵△ABD和△ACE都為等邊三角形，
∴AD=AB，AE=AC，∠DAB=∠EAC=∠AEC=∠ACE=60°，
∴∠DAB+∠BAC=∠EAC+∠BAC，即∠DAC=∠BAE，
在△DAC和△BAE中，
，
∴△DAC≌△BAE（SAS）；
（2）△ABC與△ADE面積相等．
∵△ABD和△ACE都是等腰直角三角形，
∴∠BAD=∠CAE=90°，AB=AD，AC=AE，
∵∠BAD+∠CAD+∠BAC+∠DAE=360°，
∴∠BAC+∠DAE=180°，
∵∠DAE+∠EAN=180°，
∴∠BAC=∠EAN，
在△ACM和△AEN中，
，
∴CM=EN，
∵S_△ABC=AB•CM，S_△ADE=AD•EN，
∴S_△ABC=S_△ADE；
（3）由（2）知外圈的所有三角形的面積之和等于內(nèi)圈的所有三角形的面積之和．
∴這條小路的面積為（a+2b）平方米，
故答案為：（a+2b）．
分析：（1）（1）由三角形ABD與三角形ACE都為等邊三角形，利用等邊三角形的性質(zhì)得到兩對(duì)邊相等，兩三角形的內(nèi)角都為60°，利用等式的性質(zhì)得到∠DAC=∠BAE，利用SAS可得出△DAC≌△BAE，得證；
（2）過(guò)點(diǎn)C作CM⊥AB于M，過(guò)點(diǎn)G作GN⊥EA交EA延長(zhǎng)線于N，得出△ABC與△AEG的兩條高，等腰直角三角形的特殊性證明△ACM≌△AGN，是判斷△ABC與△ADE面積之間的關(guān)系的關(guān)鍵；
（3）同（2）道理知外圈的所有三角形的面積之和等于內(nèi)圈的所有三角形的面積之和，求出這條小路一共占地多少平方米．
點(diǎn)評(píng)：本題要利用正方形的特殊性，巧妙地借助兩個(gè)三角形全等，尋找三角形面積之間的等量關(guān)系，解決問(wèn)題．由正方形的特殊性證明△ACM≌△ANE，是判斷△ABC與△ADE面積之間的關(guān)系的關(guān)鍵．