Question

已知：如圖1，拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)O、A、B三點(diǎn)，四邊形OABC是直角梯形，其中點(diǎn)A在x軸上，點(diǎn)C在y軸上，BC∥OA，A（12，0）、B（4，8）．
（1）求拋物線所對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式；
（2）若D為OA的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P自A點(diǎn)出發(fā)沿A→B→C→O的路線移動(dòng)，速度為每秒1個(gè)單位，移動(dòng)時(shí)間記為t秒．幾秒鐘后線段PD將梯形OABC的面積分成1﹕3兩部分？并求出此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）如圖2，作△OBC的外接圓O′，點(diǎn)Q是拋物線上點(diǎn)A、B之間的動(dòng)點(diǎn)，連接OQ交⊙O′于點(diǎn)M，交AB于點(diǎn)N．當(dāng)∠BOQ=45°時(shí)，求線段MN的長(zhǎng)．

Answer 1

（1）∵拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（12，0）、B（4，8）和原點(diǎn)O，
∴設(shè)拋物線解析式為y=ax²+bx（a≠0），
則

144a+12b=0 16a+4b=8

，
解得

a=- 1 4 b=3

，
∴拋物線所對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為y=-

1

4

x²+3x；

（2）∵A（12，0），B（4，8），BC∥OA，
∴OA=12，BC=4，OC=8，∠OAB=45°，
∴梯形OABC的面積=

1

2

×（4+12）×8=64，
∵AD是OA的中點(diǎn)，
∴OD=AD=

1

2

OA=

1

2

×12=6，
∵線段PD將梯形OABC的面積分成1：3兩部分，
∴分成兩部分的面積分別為64×

1

1+3

=16，
64×

3

1+3

=48，
如圖1，△ADP的面積是16時(shí)，過(guò)點(diǎn)P作PE⊥x軸于E，
∵AP=t，
∴PE=

2

2

t，
∴

1

2

×6×

2

2

t=16，
解得t=

16 2

3

，
∴PE=

16 2

3

×

2

2

=

16

3

，
OE=12-

16 2

3

×

2

2

=

20

3

，
∴點(diǎn)P（

20

3

，

16

3

），
△PDO的面積是16時(shí)，

1

2

×6•OP=16，
解得OP=

16

3

，
∵AB=

82+(12-4)2

=8

2

，
∴t=（AB+BC+OC-OP）÷1=8

2

+4+8-

16

3

=8

2

+

20

3

，
此時(shí)，點(diǎn)P（0，

16

3

），
綜上所述，

16 2

3

秒或8

2

+

20

3

秒鐘后線段PD將梯形OABC的面積分成1：3兩部分，
此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)為（

20

3

，

16

3

）或（0，

16

3

）；

（3）在Rt△OBC中，由勾股定理得，OB=

OC2+BC2

=

82+42

=4

5

，
∵∠OAB=45°，∠BOQ=45°，
∴∠OAB=∠BOQ，
又∵∠ABO=∠OBN，
∴△AOB∽△ONB，
∴

ON

AO

=

OB

AB

，
即

ON

12

=

4 5

8 2

，
解得ON=3

10

，
如圖2，連接BM，∵∠BOQ=45°，OB是⊙O′的直徑，
∴△OBM是等腰直角三角形，
∴OM=

2

2

OB=

2

2

×4

5

=2

10

，
∴MN=ON-OM=3

10

-2

10

=

10

．