Question

已知：如圖，等邊三角形ABC的邊長為6，點D，E分別在邊AB，AC上，且AD=AE=2．若點F從點B開始以每秒1個單位長的速度沿射線BC方向運動，設點F運動的時間為t秒．當t＞0時，直線FD與過點A且平行于BC的直線相交于點G，GE的延長線與BC的延長線相交于點H，AB與GH相交于點O．
（1）設△EGA的面積為S，寫出S與t的函數關系式；
（2）當t為何值時，AB⊥GH；
（3）請你證明△GFH的面積為定值；
（4）當t為何值時，點F和點C是線段BH的三等分點．

Answer 1

【答案】分析：（1）三角形EGA中，底邊AG的長可通過相似三角形ADG和BDF求出，而AG邊上的高可用AE•sin60°來表示，由此可得出S、t的函數關系式；
（2）當AB⊥GE時，連接DE，由已知推出三角形ADE是等邊三角形，可得∠AEG=60°，即∠EG=30°，根據等角對等邊可得出AG=AE=2，在（1）中已經求出了AG的表達式，根據得出的等量關系即可求出t的值；
（3）本題只需證FH是定值即可；
（4）本題要分兩種情況：
①點F在C點左側時，如果F、C是BH的三點分點，那么F必為BC的中點，因此BF=3，由此可求出t的值；
②當點F在C點右側時，同①可知：BF=2BC=12，由此可求出t的值．
解答：解：（1）如圖，
∵GA∥BC
∴
又∵AB=6，AD=2
∴DB=4
∵BF=t
∴=，
∴AG=t
過點E作EK⊥AG，垂足為K
∵∠BCA=60°
∴∠CAK=60°
∴∠AEK=30°
∵AE=2
∴AK=1
∴EK=
∴S=AG•EK=×t×=t；

（2）如圖，連接DE，由AD=AE可知，△ADE為等邊三角形．
∵AB⊥HG
∴AO=OD，∠AEO=∠DEO
∵GA∥DE
∴∠AGE=∠GED
∴AG=AE=2
∴t=2
∴t=4
即當t=4時，AB⊥HG；

（3）∵GA∥BC
∴
∴
∵DE∥BC
∴
∴FH=BC
∵△ABC與△GFH的高相等
∴S_△GFH=S_△ABC=×6×3=9
∴不論t為何值，△GFH的面積均為9；

（4）∵BC=FH
∴BF=CH
①當點F在線段BC上時，若點F和點C是線段BH的三等分點，則BF=FC=CH
∵BF=CH
∴BF=FC
∵BC=6
∴BF=FC=3
∴當t=3時，點F和點C是線段BH的三等分點；
②如右圖，當點F在BC的延長線上時，若點F和點C是線段BH的三等分點，則BC=CF=FH
∵BC=FH
∴BC=CF
∵BC=6
∴CF=6
∴BF=12
∴當t=12時，點F和點C是線段BH的三等分點．
點評：主要考查了等邊三角形的性質，平行線的性質等知識點的綜合運用．