Question

如圖，直線y=-x+1與x軸交于點A，與y軸交于點B，P（a，b）為雙曲線y=

1

2x

(x＞0)上的一點，PM⊥x軸于M，交AB于E，PN⊥y軸于N，交AB于F．
（1）當點P的坐標為（

3

4

，

2

3

）時，求E、F兩點的坐標及△EOF的面積；
（2）用含a，b的代數(shù)式表示E、F兩點的坐標及△EOF的面積；
（3）求BE•AF的值．

Answer 1

（1）∵點P的坐標為（

3

4

，

2

3

）
而PM⊥x軸，PN⊥y軸，
∴E點的橫坐標為

3

4

，F(xiàn)點的縱坐標為

2

3

，
∵點E、F在直線y=-x+1上，
當x=

3

4

時，y=-

3

4

+1=

1

4

，
當y=

2

3

時，

2

3

=-x+1，則x=

1

3

，
∴E、F兩點的坐標分別為（

3

4

，

1

4

）、（

1

3

，

2

3

）；
∵A點坐標為（1，0），B點坐標為（0，1），
∴S_△OAB=

1

2

×1×1=

1

2

，
∴S_△EOF=S_△OAB-S_△OBF-S_△OAE
=

1

2

-

1

2

×1×

1

3

-

1

2

×1×

1

4

=

5

24

；

（2）∵點P的坐標為（a，b），0＜a≤1，且b=

1

2a

，
而PM⊥x軸，PN⊥y軸，
∴E點的橫坐標為a，F(xiàn)點的縱坐標為b，
∵點E、F在直線y=-x+1上，
∴當x=a時，y=-a+1，
當y=b時，b=-x+1，則x=-b+1，
∴E、F兩點的坐標分別為（a，-a+1）、（-b+1，b）；
S_△EOF=S_△OAB-S_△OBF-S_△OAE
=

1

2

-

1

2

×1×（-b+1）-

1

2

×1×（-a+1）=

1

2

（a+b-1）；

（3）作EG⊥y軸于G，F(xiàn)H⊥x軸于H點，如圖，
∵OA=OB=1，
∴△OAB為等腰直角三角形，
∴△GEB、△FHA都為等腰直角三角形，
∴BE=

2

GE，AF=

2

FH，
而E、F兩點的坐標分別為（a，-a+1）、（-b+1，b），ab=1，
∴BE=

2

a，AF=

2

b，
∴BE•AF=2ab=2×

1

2

=1．