Question

在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，BC=6，等邊三角形DEF從初始位置（點E與點B重合，EF落在BC上，如圖1所示）在線段BC上沿BC方向以每秒1個單位的速度平移，DE、DF分別與AB相交于點M、N，當點F運動到點C時，△DEF終止運動，此時點D恰好落在AB上，設△DEF平移的時間為x。
（1）求△DEF的邊長；
（2）求M點、N點在BA上的移動速度；
（3）在△DEF開始運動的同時，如果點P以每秒2個單位的速度從D點出發(fā)沿DE·EF運動，最終運動到F點．若設△PMN的面積為y，求y與x的函數(shù)關系式，寫出它的定義域；并說明當P點在何處時，△PMN的面積最大？

Answer 1

解：（1）當F點與C點重合時，如圖1所示： ∵△DEF為等邊三角形， ∴∠DFE=60°， ∵∠B=30°， ∴∠BDF=90°， ∴FD=BC=3； （2）過E點作EG⊥AB， ∵∠DEF=60°，∠B=30°， ∴∠BME=30°， ∴EB=EM， 在Rt△EBG中，BG=x×cos30°=x， ∴BM=2BG=x， ∴M點在BA上的移動速度為，F(xiàn)點作FH⊥F1D1， 在Rt△FF1H中，F(xiàn)H=x×cos30°=x， 點N在BA上的移動速度為； （3）在Rt△DMN中，DM=3-x，MN=（3-x）×cos30°=（3-x）， 當P點運動到M點時，有2x+x=3， ∴x=1 ①當P點在DM之間運動時，過P點作PP1⊥AB，垂足為P1在Rt△PMP1中，PM=3-x-2x=3-3x， ∴PP1=（3-3x）=（1-x）， ∴y與x的函數(shù)關系式為：y=（0≤x≤1）， ②當P點在ME之間運動時，過P點作PP2⊥AB，垂足為P2， 在Rt△PMP2中，PM=x-（3-2x）=3（x-1）， ∴PP1=（1-x）， ∴y與x的函數(shù)關系式為：， ③當P點在EF之間運動時，過P點作PP3⊥AB，垂足為P3， 在Rt△PMP3中，PB=x+（2x-3）=3（x-1）， ∴PP3=（x-1）， ∴y與x的函數(shù)關系式為：， ∴y=， ∴當x=2時，y最大=，而當P點在D點時，， ∵， ∴當P點在D點時，△PMN的面積最大。