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【題目】如圖,矩形OABC在平面直角坐標系xOy中,點A在x軸的正半軸上,點C在y軸的正半軸上,OA=4,OC=3,若拋物線的頂點在BC邊上,且拋物線經過O,A兩點,直線AC交拋物線于點D.

(1)求拋物線的解析式;

(2)求點D的坐標;

(3)若點M在拋物線上,點N在x軸上,是否存在以A,D,M,N為頂點的四邊形是平行四邊形?若存在,求出點N的坐標;若不存在,請說明理由.

【答案】解:(1)設拋物線頂點為E,根據題意OA=4,OC=3,得:E(2,3)。

設拋物線解析式為,

將A(4,0)坐標代入得:0=4a+3,即。

拋物線解析式為

(2)設直線AC解析式為(k≠0),

將A(4,0)與C(0,3)代入得:,解得:

直線AC解析式為。

與拋物線解析式聯立得:,解得:。

點D坐標為(1,)。

(3)存在,分兩種情況考慮:

當點M在x軸上方時,如圖1所示:

四邊形ADMN為平行四邊形,DMAN,DM=AN,

由對稱性得到M(3,),即DM=2,故AN=2,

N1(2,0),N2(6,0)。

當點M在x軸下方時,如圖2所示:

過點D作DQx軸于點Q,過點M作MPx軸于點P,可得ADQ≌△NMP,

MP=DQ=,NP=AQ=3。

將yM=代入拋物線解析式得:

,

解得:xM=或xM=

xN=xM-3=,

N3,0),N4,0)。

綜上所述,滿足條件的點N有四個:

N1(2,0),N2(6,0),N3,0),N4,0)。

【解析】

試題(1)由OA的長度確定出A的坐標,再利用對稱性得到頂點坐標,設出拋物線的頂點形式,將A的坐標代入求出a的值,即可確定出拋物線解析式;。

(2)設直線AC解析式為y=kx+b,將A與C坐標代入求出k與b的值,確定出直線AC解析式,與拋物線解析式聯立即可求出D的坐標。

(3)存在,分兩種情況考慮:如圖所示,當四邊形ADMN為平行四邊形時,DMAN,DM=AN,由對稱性得到M(3,),即DM=2,故AN=2,根據OA+AN求出ON的長,即可確定出N的坐標;當四邊形ADM′N′為平行四邊形,可得ADQ≌△NMP,MP=DQ=,NP=AQ=3,將y=代入得:,求出x的值,確定出OP的長,由OP+PN求出ON的長即可確定出N坐標。

練習冊系列答案
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AD6AC10,求四邊形CODP的面積.

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【題目】如圖,方格紙中每個小正方形的邊長均為1,ABC的三個頂點均在小正方形的頂點上.

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2)以原點O為位似中心,在第一象限內將ABC放大,相似比為2,畫出放大后的A'B'C';

3)直接寫出BCAC的交點坐標.

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根據圖中信息解決下列問題:

(1)本次共調查名學生,扇形統(tǒng)計圖中B所對應的扇形的圓心角為度;

(2)補全條形統(tǒng)計圖;

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【題目】閱讀下列材料,完成任務:

自相似圖形

定義:若某個圖形可分割為若干個都與它相似的圖形,則稱這個圖形是自相似圖形.例如:正方形ABCD中,點E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA邊的中點,連接EG,HF交于點O,易知分割成的四個四邊形AEOH、EBFO、OFCG、HOGD均為正方形,且與原正方形相似,故正方形是自相似圖形.

任務:

(1)圖1中正方形ABCD分割成的四個小正方形中,每個正方形與原正方形的相似比為   

(2)如圖2,已知ABC中,ACB=90°,AC=4,BC=3,小明發(fā)現ABC也是“自相似圖形”,他的思路是:過點C作CDAB于點D,則CD將ABC分割成2個與它自己相似的小直角三角形.已知△ACD∽△ABC,則ACD與ABC的相似比為   ;

(3)現有一個矩形ABCD是自相似圖形,其中長AD=a,寬AB=b(a>b).

請從下列A、B兩題中任選一條作答:我選擇   題.

A:①如圖3﹣1,若將矩形ABCD縱向分割成兩個全等矩形,且與原矩形都相似,則a=   (用含b的式子表示);

如圖3﹣2若將矩形ABCD縱向分割成n個全等矩形,且與原矩形都相似,則a=   (用含n,b的式子表示);

B:①如圖4﹣1,若將矩形ABCD先縱向分割出2個全等矩形,再將剩余的部分橫向分割成3個全等矩形,且分割得到的矩形與原矩形都相似,則a=   (用含b的式子表示);

如圖4﹣2,若將矩形ABCD先縱向分割出m個全等矩形,再將剩余的部分橫向分割成n個全等矩形,且分割得到的矩形與原矩形都相似,則a=   (用含m,n,b的式子表示).

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