Question

對于二次函數(shù)y=-x²+8x-6和一次函數(shù)y=3x-4，把y=t（-x²+8x-6）+（2-3t）（3x-4）稱為這兩個函數(shù)的“再生二次函數(shù)”，其中t是不為零的實數(shù)，其圖象記作拋物線C．現(xiàn)有點A（2，4）和拋物線C上的點B（-3，n），請完成下列任務(wù)：
【嘗試】
（1）判斷點A是否在拋物線C上；
（2）求n的值
【發(fā)現(xiàn)】
     通過（1）和（2）的演算可知，對于t取任何不為零的實數(shù)，拋物線C總過固定的兩點，則這兩點的坐標(biāo)分別是______．
【應(yīng)用】
     二次函數(shù)y=4x²-6x+9是二次函數(shù)y=-x²+8x-6和一次函數(shù)y=3x-4的一個“再生二次函數(shù)”嗎？如果是，求出t的值；如果不是，說明理由．

Answer 1

解：（1）把點A（2，4）代入“再生二次函數(shù)”解析式y(tǒng)=t（-x²+8x-6）+（2-3t）（3x-4）中，
4=6t+4-6t，左邊等于右邊，
則點A在拋物線C上；

（2）把點B（-3，n）代入“再生二次函數(shù)”解析式y(tǒng)=t（-x²+8x-6）+（2-3t）（3x-4）中，
n=t（-9-24-6）+（2-3t）（-9-4），
n=-39t-26+39t=-26，
則n的值為-26；

發(fā)現(xiàn)：把y=t（-x²+8x-6）+（2-3t）（3x-4）變形為y=t（-x²-x+6）+6x-8，
若對于t取任何不為零的實數(shù)，拋物線C總過固定的兩點，
則-x²-x+6=0，
解得x₁=2，x₂=-3，
當(dāng)x=2時，y=4，
當(dāng)x=-3時，y=-26；
則這兩點的坐標(biāo)分別是（2，4），（-3，-26）；

應(yīng)用：若二次函數(shù)y=4x²-6x+9不是二次函數(shù)y=-x²+8x-6和一次函數(shù)y=3x-4的一個“再生二次函數(shù)”；
則二次函數(shù)y=4x²-6x+9過點（2，4），（-3，-26）；
經(jīng)過檢驗二次函數(shù)y=4x²-6x+9不過（2，4），（-3，-26）這兩點，
所以t的值不存在．
分析：（1）把點A（2，4）代入“再生二次函數(shù)”解析式中，若等式左右兩邊相等，則可以判斷點A是否在拋物線C上；
（2）把點B（-3，n）代入“再生二次函數(shù)”解析式中，使等式左右兩邊相等，即可求出n的值；
發(fā)現(xiàn)：把y=t（-x²+8x-6）+（2-3t）（3x-4）變形為y=t（-x²-x+6）+6x-8，令-x²-x+6=0，解出x的值，即可求出兩個點的坐標(biāo)；
應(yīng)用：若二次函數(shù)y=4x²-6x+9是二次函數(shù)y=-x²+8x-6和一次函數(shù)y=3x-4的一個“再生二次函數(shù)”，則固定兩點的坐標(biāo)代入“再生二次函數(shù)”解析式中，求出t的值即可．
點評：本題主要考查二次函數(shù)的綜合題，解答此題的關(guān)鍵是理解新定義“再生二次函數(shù)”，此題難度不大.