Question

（2013•岱山縣模擬）如圖，已知拋物線y1=ax2+bx+c與拋物線y2=x2+6x+5關于y軸對稱，并與y軸交于點M，與x軸交于A、B兩點．
 
（1）求拋物線y₁的解析式；
（2）若AB的中點為C，求sin∠CMB；
（3）若一次函數y=kx+h的圖象過點M，且與拋物線y₁交于另一點N（m，n），其中m≠n，同時滿足m²-m+t=0和n²-n+t=0（t為常數）．
①求k值；
②設該直線交x軸于點D，P為坐標平面內一點，若以O、D、P、M為頂點的四邊形是平行四邊形，試求P點的坐標．（只需直接寫出點P的坐標，不要求解答過程）

Answer 1

分析：（1）對與函數y2=x2+6x+5，令x=0，可得y=5，從而可得出點M的坐標，令y=0，可求出x₁=-1，x₂=-5，從而得出拋物線y₂與x軸兩交點的坐標為（-1，0），（-5，0），結合軸對稱的知識，可設y₁=a（x-1）（x-5），將點M（0，5）代入，即可得出解析式；
（2）過點C作CH⊥MB于點H，求出CB、MC，及△CMB的面積，然后利用勾股定理求出MB的長度，繼而可得出CH的長度，在RT△MNH中可求出sin∠CMB的值；
（3）先根據題意得出直線y=kx+h中k的可能值，然后分類討論得出點D的坐標，根據平行四邊形的性質即可得出點P的坐標．

解答：解：（1）對于函數y2=x2+6x+5來說，令x=0，則y=5，
∴M（0，5），
令y=0，則x²+6x+5=0，
∴x₁=-1，x₂=-5，
∴拋物線y₂與x軸兩交點的坐標為（-1，0），（-5，0），
∵拋物線y₁、y₂關于y軸對稱，
∴A（1，0），B（5，0）．…（3分）
故可設y₁=a（x-1）（x-5），將點M（0，5）代入，得y₁=（x-1）（x-5），即y1=x2-6x+5．…（4分）
（2）∵A（1，0），B（5，0），M（0，5），C為AB的中點，
∴C（3，0），CB=2，MC=

34

，
∴S_△CMB=

1

2

CB•OM=

1

2

×2×5=5，
∵OM=OB=5，
∴由勾股定理可得MB=5

2

，
過點C作CH⊥MB于點H，則

1

2

×5

2

-CH=5，

∴CH=

2

，
在Rt△MCH中，sin∠CMB=

CH

MC

=

2

34

=

17

17

．
（3）①∵直線y=kx+h過點M（0，5），
∴h=5，
∵N（m，n）在拋物線y₁上，
∴n=m²-6m+5，
又∵m²-m+t=0，n²-n+t=0，
故兩式相減，得：m²-n²-m+n=0，即（m-n）（m+n-1）=0．
∵m≠n，
∴m+n-1=0，即n=1-m，
將n=1-m代入n=m²-6m+5得：m²-5m+4=0，
∴m₁=1，m₂=4．從而n₁=0，n₂=-3，
∴N₁（1，0），N₂（4，-3），
故將它們的坐標分別代入y=kx+5中，得k₁=-5，k₂=-2．
②當k=-5時，直線為y=-5x+5，此時D，N與A點重合．
因此滿足條件的P點有三個：P₁（1，5），P₂（-1，5），P₃（1，-5）．
當k=-2時，直線為y=-2x+5，此時D（

5

2

，0）．
因此滿足條件的P點也有三個：P₄（

5

2

，5），P₅（-

5

2

，5），P6（

5

2

，-5）．
綜上，滿足條件的P點共有六個：P₁（1，5），P₂（-1，5），P₃（1，-5），P₄（

5

2

，5），P₅（-

5

2

，5），P₆（

5

2

，-5）．

點評：本題主要考查了二次函數解析式的確定、函數圖象交點的求法等知識點，主要考查學生數形結合的數學思想方法．