【題目】如圖1,在矩形ABCD中,P為CD邊上一點(diǎn)(DP<CP),∠APB=90°.將△ADP沿AP翻折得到△AD′P,PD′的延長線交邊AB于點(diǎn)M,過點(diǎn)B作BN∥MP交DC于點(diǎn)N.
(1)求證:AD2=DPPC;
(2)請(qǐng)判斷四邊形PMBN的形狀,并說明理由;
(3)如圖2,連接AC,分別交PM,PB于點(diǎn)E,F(xiàn).若=,求的值.
【答案】(1)證明見解析;(2)四邊形PMBN是菱形,理由見解析;(3)
【解析】(1)過點(diǎn)P作PG⊥AB于點(diǎn)G,易知四邊形DPGA,四邊形PCBG是矩形,所以AD=PG,DP=AG,GB=PC,易證△APG∽△PBG,所以PG2=AGGB,即AD2=DPPC;
(2)DP∥AB,所以∠DPA=∠PAM,由題意可知:∠DPA=∠APM,所以∠PAM=∠APM,由于∠APB-∠PAM=∠APB-∠APM,即∠ABP=∠MPB,從而可知PM=MB=AM,又易證四邊形PMBN是平行四邊形,所以四邊形PMBN是菱形;
(3)由于,可設(shè)DP=k,AD=2k,由(1)可知:AG=DP=k,PG=AD=2k,從而求出GB=PC=4k,AB=AG+GB=5k,由于CP∥AB,從而可證△PCF∽△BAF,△PCE∽△MAE,從而可得,,從而可求出EF=AF-AE=AC-AC=AC,從而可得.
(1)過點(diǎn)P作PG⊥AB于點(diǎn)G,
∴易知四邊形DPGA,四邊形PCBG是矩形,
∴AD=PG,DP=AG,GB=PC
∵∠APB=90°,
∴∠APG+∠GPB=∠GPB+∠PBG=90°,
∴∠APG=∠PBG,
∴△APG∽△PBG,
∴,
∴PG2=AGGB,
即AD2=DPPC;
(2)∵DP∥AB,
∴∠DPA=∠PAM,
由題意可知:∠DPA=∠APM,
∴∠PAM=∠APM,
∵∠APB-∠PAM=∠APB-∠APM,
即∠ABP=∠MPB
∴AM=PM,PM=MB,
∴PM=MB,
又易證四邊形PMBN是平行四邊形,
∴四邊形PMBN是菱形;
(3)由于,
可設(shè)DP=k,AD=2k,
由(1)可知:AG=DP=k,PG=AD=2k,
∵PG2=AGGB,
∴4k2=kGB,
∴GB=PC=4k,
AB=AG+GB=5k,
∵CP∥AB,
∴△PCF∽△BAF,
∴,
∴,
又易證:△PCE∽△MAE,AM=AB=,
∴
∴,
∴EF=AF-AE=AC-AC=AC,
∴.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖所示,一個(gè)工人師傅要將一個(gè)正方形ABCD的余料,修剪成四邊形ABEF的零件,其中CE=BC,F是CD的中點(diǎn).
(1)若正方形的邊長為a,試用含a的代數(shù)式表示AF2+EF2的值;
(2)連結(jié)AE,△AEF是直角三角形嗎?為什么?(正方形的四條邊都相等,四個(gè)角都是直角)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)A(0,b)、點(diǎn)B(a,0)、點(diǎn)D(d,0)且a、b、c滿足.DE⊥x軸且∠BED=∠ABD,BE交y軸于點(diǎn)C,AE交x軸于點(diǎn)F.
(1)求點(diǎn)A、B、D的坐標(biāo);
(2)求點(diǎn)C、E、F的坐標(biāo);
(3)如圖,過P(0,-1)作x軸的平行線,在該平行線上有一點(diǎn)Q(點(diǎn)Q在P的右側(cè))使∠QEM=45°,QE交x軸于N,ME交y軸正半軸于M,求的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,△ABC中,AD平分∠BAC,DG⊥BC且平分BC,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F.
(1)判斷BE與CF的數(shù)量關(guān)系,并說明理由;
(2)如果AB=8,AC=6,求AE、BE的長.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知點(diǎn)C為線段AB上一點(diǎn),分別以AC、BC為邊在線段AB的同側(cè)作△ACD和△BCE,且CA=CD,CB=CE,∠ACD=∠BCE,直線AE與BD交于點(diǎn)F.
(1)如圖1,若∠ACD=60°,則∠AFB=______,如圖2,若∠ACD=90°,則∠AFB=______,如圖3,若∠ACD=α,則∠AFB=______(用含α的式子表示);
(2)設(shè)∠ACD=α,將圖3中的△ACD繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)任意角度(交點(diǎn)F至少在BD、AE中的一條線段上),如圖4,試探究∠AFB與α的數(shù)量關(guān)系,并予以說明.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在菱形ABCD中,sinD=,E、F分別是AB,CD上的點(diǎn),BC=5,AE=CF=2,點(diǎn)P是線段EF上一點(diǎn),則當(dāng)△BPC時(shí)直角三角形時(shí),CP的長為____________
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知反比例函數(shù)y1=與一次函數(shù)y2=k2x+b的圖象交于點(diǎn)A(1,8),B(-4,m)兩點(diǎn).
(1)求k1,k2,b的值;
(2)求△AOB的面積;
(3)請(qǐng)直接寫出不等式x+b的解.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】分解因式:
(1)﹣3x2y+6xy2﹣12xy
(2)81﹣m4
(3)2x2﹣4xy+2y2
(4)(x+2)(x﹣2)﹣5.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,將一張等邊三角形紙片沿各邊中點(diǎn)剪成4個(gè)小三角形,稱為第一次操作;然后將其中的一個(gè)三角形按同樣方式再剪成4個(gè)小三角形,共得到7個(gè)小三角形,稱為第二次操作;再將其中一個(gè)三角形按同樣方式再剪成4個(gè)小三角形,共得到10個(gè)小三角形,稱為第三次操作;……,根據(jù)以上操作,若要得到100個(gè)小三角形,則需要操作的次數(shù)是( )
A. 25 B. 33 C. 34 D. 50
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