Question

如圖，已知點E是矩形ABCD的邊CB延長線上一點，且CE=CA，連接AE，過點C作CF⊥AE，垂足為點F，連接BF、FD．
（1）求證：△FBC≌△FAD；
（2）連接BD，若

FB

BD

=

3

5

，且AC=10，求FC的值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)CE=CA得到△ACE為等腰三角形，由CF⊥AE，根據(jù)“三線合一”得到F為AE的中點，又根據(jù)矩形的性質(zhì)得到∠ABE為直角，在直角三角形ABE中，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，即可得到AF等于BF，再根據(jù)等比對等角得到∠FAB=∠FBA，然后由∠BAD=∠ABC=90°，從而得到∠FAD=∠FBC，最后根據(jù)矩形的性質(zhì)得到對邊相等，AD=BC，根據(jù)“SAS”即可得證；
（2）根據(jù)（1）中的三角形全等得到FC=FD，且∠BFC=∠AFD，又∠AFC為直角，根據(jù)等量代換得到∠BFD為直角，由矩形的對角線相等，即AC=BD=10，根據(jù)已知的比例式可得FB的長，在直角三角形BFD中，利用勾股定理求出FD，即為FC的長．

解答：（1）證明：∵CE=AC，CF⊥AE，∴AF=EF（1分）
∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD=BC，∠ABC=∠BAD=90°
∴在Rt△ABE中，BF=AF，（1分）
∴∠FBA=∠FAB，
∴∠FAD=∠FBC，（1分）
∴△FBC≌△FAD；（1分）

（2）解：∵△FBC≌△FAD，∴FC=FD，∠BFC=∠AFD（1分）
∴∠BFD=∠BFC+∠CFD=∠AFD+∠CFD=90°（1分）
∵四邊形ABCD是矩形，∴BD=AC=10，
∵

FB

BD

=

3

5

，且BD=AC=10，∴FB=6，
在直角三角形BDF中，根據(jù)勾股定理得：FD=8，（1分）
∴FC=8．（1分）

點評：此題考查了矩形的性質(zhì)，以及全等三角形的判別與性質(zhì)．三角形全等的方法有：SAS，ASA，AAS，SSS及HL（直角三角形），注意根據(jù)題意選擇合適的證明方法．第二問的思路是：利用第一問的結(jié)論得出相等的邊及角，利用等量間的轉(zhuǎn)換構(gòu)造直角三角形，借助勾股定理解決問題．