Question

在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，AC=4cm，長(zhǎng)為1cm的線段MN在△ABC的邊AB上沿AB方向以1（cm/s）的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)（運(yùn)動(dòng)開(kāi)始時(shí)點(diǎn)M與點(diǎn)A重合），過(guò)M、N分別作AB的垂線交直角邊于P、Q兩點(diǎn)（如圖），設(shè)線段MN運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t（s）時(shí)，△BNQ的面積為ycm²．
（1）求出y與t的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出自變量t的取值范圍；
（2）當(dāng)MN運(yùn)動(dòng)幾秒鐘后，y最大，最大值為多少？
（3）線段MN運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，四邊形MNQP有可能成為矩形嗎？若有可能，求出此時(shí)t的值；若不可能，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）本題要分兩種情況進(jìn)行討論：
①當(dāng)Q在AC上運(yùn)動(dòng)時(shí)即當(dāng)0≤t≤1時(shí)，可在直角三角形ANQ中，根據(jù)∠A的度數(shù)和AN的長(zhǎng)表示出NQ的長(zhǎng)，進(jìn)而可根據(jù)三角形的面積公式得出y，t的函數(shù)關(guān)系式；
②當(dāng)Q在BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)即當(dāng)1＜t≤7時(shí)，先根據(jù)AN的長(zhǎng)表示出BN的值，然后在直角三角形BNQ中，根據(jù)∠CBN的度數(shù)求出NQ的長(zhǎng)，然后同①；
（2）可根據(jù)（1）得出的函數(shù)的性質(zhì)，求出y的最大值及對(duì)應(yīng)的t的值；
（3）若要四邊形PMNQ成為矩形，必須滿足的條件是MP=QN，此時(shí)P在AC上，Q在BC上，可在直角三角形AMP和BNQ中分別用t表示出MP和NQ的長(zhǎng)，然后根據(jù)MP=NQ求出t的值．

解答：解：（1）作CH⊥AB于H，
∵∠C=90°，∠A=60°，AC=4cm
∴AB=8，AH=2，CH=2

3

，
①當(dāng)0≤t≤1時(shí)點(diǎn)P，Q均在AC上，在Rt△ANQ中，
∵∠A=60°，AN=t+1，
∴NQ×tan60°=

3

（t+1），
又BN=AB-AM-MN=8-t-1=7-t，
∴y=

1

2

BN•NQ=

1

2

×

3

（t+1）×（7-t）=-

3

2

（t²-6t-7）；
②當(dāng)1＜t≤7時(shí)，點(diǎn)Q在BC上，在Rt△BNQ中，
∵∠QBN=30°，BN=7-t，
∴NQ=BN×tan30°=

3

3

（7-t），
∴y=

1

2

BN•NQ=

1

2

×

3

3

（7-t）×（7-t）=

3

6

（7-t）²，
綜上所述∴y=

- 3 2 (t2-6t-7)，(0≤t≤1) 3 6 (t-7)2，(1＜t≤7)

；

（2）當(dāng)0≤t≤1時(shí)，二次函數(shù)y=-

3

2

（t²-6t-7）=-

3

2

[（t-3）²-16]，
其對(duì)稱(chēng)軸為t=3，開(kāi)口向下，
當(dāng)t≤3時(shí)y隨t的增大而增大，
故知當(dāng)t=1時(shí)，y最大，其最大值為6

3

cm²，
又二次函數(shù)y=

3

6

（7-t）²在1＜t≤7時(shí)，y隨t的增大而減小，
而t=1時(shí)，亦有y=6

3

，
綜上所述，線段MN運(yùn)動(dòng)1（s）后即達(dá)到最大值，其最大值為6

3

cm²；

（3）若四邊形MNQP為矩形，必需PM=QN，點(diǎn)P在AC上，點(diǎn)Q在BC上，
在Rt△BNQ中，NQ=BN×tan30°=

3

3

（7-t），
在Rt△APM中，PM=AM×tan60°=

3

t，
由PM=QN，得

3

t=

3

3

（7-t），
∴t=

7

4

，
∴當(dāng)t=

7

4

（s）時(shí)，四邊形MNQP為矩形．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了直角三角形的性質(zhì)、二次函數(shù)的應(yīng)用、矩形的判定等知識(shí)．綜合性強(qiáng)，考查學(xué)生分類(lèi)討論，數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法．