(2003•山西)如圖,已知圓心A(0,3),⊙A與x軸相切,⊙B的圓心在x軸的正半軸上,且⊙B與⊙A外切于點(diǎn)P,兩圓的公切線MP交y軸于點(diǎn)M,交x軸于點(diǎn)N.
(1)若sin∠OAB=,求直線MP的解析式及經(jīng)過(guò)M、N、B三點(diǎn)的拋物線的解析式.
(2)若⊙A的位置大小不變,⊙B的圓心在x軸的正半軸上移動(dòng),并使⊙B與⊙A始終外切,過(guò)M作⊙B的切線MC,切點(diǎn)為C,在此變化過(guò)程中探究:
①四邊形OMCB是什么四邊形,對(duì)你的結(jié)論加以證明.
②經(jīng)過(guò)M、N、B三點(diǎn)的拋物線內(nèi)是否存在以BN為腰的等腰三角形?若存在,表示出來(lái);若不存在,說(shuō)明理由.

【答案】分析:(1)已知了A的坐標(biāo)可得出圓A的半徑,在直角三角形OAB中,可根據(jù)OA的長(zhǎng)和∠OAB的正弦值求出AB和OB的長(zhǎng),進(jìn)而可得出圓B的半徑長(zhǎng).也就求出了B點(diǎn)、M點(diǎn)的坐標(biāo).
根據(jù)相似三角形BPN和BOA可求出BN的長(zhǎng),進(jìn)而可求出ON的長(zhǎng),也就得出了N點(diǎn)的坐標(biāo),可根據(jù)M、N、B三點(diǎn)的坐標(biāo),用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式.
(2)①應(yīng)該是矩形,不難得出△OAB和△PAM全等,那么OB=MP,AM=AB(也可通過(guò)圓A的半徑長(zhǎng)和∠OAB的正切值來(lái)求出),由于MP、MC都是圓B的切線,根據(jù)切線長(zhǎng)定理可得出MP=MC=OB,而OM=BC=AM-OA=AB-AP,由此可得出四邊形OBCM是平行四邊形.由于∠BOM是直角,因此四邊形OBCM是矩形.
②存在,根據(jù)①不難得出BN=MN,而M點(diǎn)也在拋物線上,根據(jù)拋物線的對(duì)稱性可知,點(diǎn)M關(guān)于拋物線對(duì)稱軸對(duì)稱的點(diǎn)Mn也一定符合這樣的條件.因此滿足條件的三角形有兩個(gè),△MNB和△MnNB.
解答:解:(1)在Rt△AOB中,∵OA=3,sin∠OAB=,
∴cos∠OAB=
∴AB=5,OB=4,BP=5-3=2,
在Rt△APM中,=cos∠OAB=,
∴AM=5,OM=2,
點(diǎn)M(0,-2),
又△NPB∽△AOB
=,BN=
∴ON=OB-BN=4-=
∴點(diǎn)N(,0)
設(shè)MP的解析式為y=kx+b,
∵M(jìn)P經(jīng)過(guò)M、N兩點(diǎn),
∴得,
解得
∴MP的解析式為y=x-2.
設(shè)過(guò)M、N、B的拋物線解析式為y=a(x-)(x-4),
且點(diǎn)M(0,-2),可得a=-,
∴拋物線的解析式為y=-(x-)(x-4),
即y=-x2+x-2.

(2)①四邊形OMCB是矩形.
證明:在⊙A不動(dòng)、⊙B運(yùn)動(dòng)變化過(guò)程中,
恒有∠BAO=∠MAP,OA=AP,∠AOB=∠APM=90°,
∴△AOB≌△APM,
∴OB=PM,AB=AM,
∴PB=OM,而PB=PC,
∴OM=BC
由切線長(zhǎng)定理知MC=MP,
∴MC=OB,
∴四邊形MOBC是平行四邊形.
又∵∠MOB=90°,
∴四邊形MOBC是矩形.
②存在.由上證明可知Rt△MON≌Rt△BPN,
∴BN=MN
因此在過(guò)M、N、B三點(diǎn)的拋物線內(nèi)有以BN為腰的等腰三角形MNB存在
由拋物線的軸對(duì)稱性可知,在拋物線上必有一點(diǎn)Mn與M關(guān)于其對(duì)稱軸對(duì)稱,
∴BN=BMn
這樣得到滿足條件的三角形有兩個(gè),△MNB和△MnNB.
點(diǎn)評(píng):本題著重考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、三角形全等、矩形的判定、等腰三角形的判定等知識(shí)點(diǎn),綜合性強(qiáng),考查學(xué)生數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法.
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(2)若⊙A的位置大小不變,⊙B的圓心在x軸的正半軸上移動(dòng),并使⊙B與⊙A始終外切,過(guò)M作⊙B的切線MC,切點(diǎn)為C,在此變化過(guò)程中探究:
①四邊形OMCB是什么四邊形,對(duì)你的結(jié)論加以證明.
②經(jīng)過(guò)M、N、B三點(diǎn)的拋物線內(nèi)是否存在以BN為腰的等腰三角形?若存在,表示出來(lái);若不存在,說(shuō)明理由.

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