Question

已知關(guān)于x的一元二次方程kx²+（3k+1）x+3=0（k≠0）．
（1）求證：無(wú)論k取何值，方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；
（2）若二次函數(shù)y=kx²+（3k+1）x+3的圖象與x軸兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)均為整數(shù)，且k為整數(shù)，求k的值．
解：

Answer 1

分析：（1）先計(jì)算判別式得值得到△=（3k+1）²-4k×3=（3k-1）²，然后根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)得到△≥0，則根據(jù)判別式的意義即可得到結(jié)論；
（2）先理由求根公式得到kx²+（3k+1）x+3=0（k≠0）的解為x₁=

1

k

，x₂=3，則二次函數(shù)y=kx²+（3k+1）x+3的圖象與x軸兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為

1

k

和3，然后根據(jù)整數(shù)的整除性可確定整數(shù)k的值．

解答：（1）證明：△=（3k+1）²-4k×3
=（3k-1）²，
∵（3k-1）²，≥0，
∴△≥0，
∴無(wú)論k取何值，方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；
（2）解：kx²+（3k+1）x+3=0（k≠0）
x=

-(3k+1)±(3k-1)

2k

，
x₁=

1

k

，x₂=3，
所以二次函數(shù)y=kx²+（3k+1）x+3的圖象與x軸兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為

1

k

和3，
根據(jù)題意得

1

k

為整數(shù)，
所以整數(shù)k為±1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判別式△=b²-4ac：當(dāng)△＞0，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△=0，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△＜0，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根．也考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)．