【題目】對于⊙C與⊙C上的一點(diǎn)A,若平面內(nèi)的點(diǎn)P滿足:射線AP與⊙C交于點(diǎn)Q(點(diǎn)Q可以與點(diǎn)P重合),且,則點(diǎn)P稱為點(diǎn)A關(guān)于⊙C的“生長點(diǎn)”.
已知點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn),⊙O的半徑為1,點(diǎn)A(-1,0).
(1)若點(diǎn)P是點(diǎn)A關(guān)于⊙O的“生長點(diǎn)”,且點(diǎn)P在x軸上,請寫出一個(gè)符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)________;
(2)若點(diǎn)B是點(diǎn)A關(guān)于⊙O的“生長點(diǎn)”,且滿足,求點(diǎn)B的縱坐標(biāo)t的取值范圍;
(3)直線與x軸交于點(diǎn)M,與y軸交于點(diǎn)N,若線段MN上存在點(diǎn)A關(guān)于⊙O的“生長點(diǎn)”,直接寫出b的取值范圍是_____________________________.
【答案】(1)(2,0)(答案不唯一);(2)或;(3)或.
【解析】試題分析:
(1)由題意可知,在x軸上找點(diǎn)P是比較簡單的,這樣的P點(diǎn)不是唯一的,如點(diǎn)(2,0)、(1,0)等;
(2)如圖1,在x軸上方作射線AM交⊙O于點(diǎn)M,使tan∠MAO=,并在射線AM是取點(diǎn)N,使MN=AM,則由題意可知,線段MN上的點(diǎn)都是符合條件的B點(diǎn),過點(diǎn)M作MH⊥x軸于點(diǎn)H,連接MC,結(jié)合已知條件求出點(diǎn)M和點(diǎn)N的縱坐標(biāo)即可得到所求B點(diǎn)的縱坐標(biāo)t的取值范圍;根據(jù)對稱性,在x軸的下方得到線段M′N′,同理可求得滿足條件的B點(diǎn)的縱坐標(biāo)t的另一取值范圍;
(3)如圖2,3,由與x軸交于點(diǎn)M,與y軸交于點(diǎn)N,可得點(diǎn)M的坐標(biāo)為,點(diǎn)N的坐標(biāo)為,由此結(jié)合∠OMN的正切函數(shù)可求得∠OMN=60°;
以點(diǎn)D(1,0)為圓心,2為半徑作圓⊙D,則⊙D和⊙O相切于點(diǎn)A,由題意可知,點(diǎn)A關(guān)于⊙O的“生長點(diǎn)”都在⊙O到⊙D之間的平面內(nèi),包括兩個(gè)圓(但點(diǎn)A除外).
然后結(jié)合題意和∠OMN=60°分b>0和b<0兩種情況在圖2和圖3中求出ON1和ON2的長即可得到b的取值范圍了.
試題解析:
(1)由題意可知,在x軸上找點(diǎn)P是比較簡單的,這樣的P點(diǎn)不是唯一的,如點(diǎn)(2,0)、(1,0)等;
(2)如圖1,在x軸上方作射線AM,與⊙O交于M,且使得,并在AM上取點(diǎn)N,使AM=MN,并由對稱性,將MN關(guān)于x軸對稱,得,則由題意,線段MN和上的點(diǎn)是滿足條件的點(diǎn)B.
作MH⊥x軸于H,連接MC,
∴ ∠MHA=90°,即∠OAM+∠AMH=90°.
∵ AC是⊙O的直徑,
∴ ∠AMC=90°,即∠AMH+∠HMC=90°.
∴ ∠OAM=∠HMC.
∴.
∴.
設(shè),則, ,
∴,解得,即點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為.
又由,A為(-1,0),可得點(diǎn)N的縱坐標(biāo)為,
故在線段MN上,點(diǎn)B的縱坐標(biāo)t滿足: .
由對稱性,在線段上,點(diǎn)B的縱坐標(biāo)t滿足: .
∴ 點(diǎn)B的縱坐標(biāo)t的取值范圍是或.
(3)如圖2,以點(diǎn)D(1,0)為圓心,2為半徑作圓⊙D,則⊙D和⊙O相切于點(diǎn)A,由題意可知,點(diǎn)A關(guān)于⊙O的“生長點(diǎn)”都在⊙O到⊙D之間的平面內(nèi),包括兩個(gè)圓(但點(diǎn)A除外).
∵直線與x軸交于點(diǎn)M,與y軸交于點(diǎn)N,
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為,點(diǎn)N的坐標(biāo)為,
∴tan∠OMN=,
∴∠OMN=60°,
要在線段MN上找點(diǎn)A關(guān)于⊙O的“生長點(diǎn)”,現(xiàn)分“b>0”和“b<0”兩種情況討論:
I、①當(dāng)直線過點(diǎn)N1(0,1)時(shí),線段MN上有點(diǎn)A關(guān)于⊙O的唯一“生長點(diǎn)”N1,此時(shí)b=1;
②當(dāng)直線與⊙D相切于點(diǎn)B時(shí),線段MN上有點(diǎn)A關(guān)于⊙O的唯一“生長點(diǎn)”B,此時(shí)直線與y軸相交于點(diǎn)N2,與x軸相交于點(diǎn)M2,連接DB,則DB=2span>,
∴DM2=,
∴OM2=,
∴ON2=tan60°·OM2=,此時(shí)b=.
綜合①②可得,當(dāng)b>0時(shí),若線段MN上存在點(diǎn)A關(guān)于⊙O的“生長點(diǎn)”,則b的取值范圍為: ;
II、當(dāng)b<0時(shí),如圖3,同理可得若線段MN上存在點(diǎn)A關(guān)于⊙O的“生長點(diǎn)”,則b的取值范圍為: ;
綜上所述,若在線段MN上存在點(diǎn)A關(guān)于⊙O的“生長點(diǎn)”,則b的取值范圍為: 或.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖的七邊形ABCDEFG中,AB、ED的延長線相交于O點(diǎn).若圖中∠1、∠2、∠3、∠4的外角的角度和為220°,則∠BOD的度數(shù)是( 。
A. 400 B. 450 C. 500 D. 600
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖在平面直角坐標(biāo)系xOy中,函數(shù)y1=(x>0)的圖象與一次函數(shù)y2=kx-k的圖象的交點(diǎn)為A(m,2).
(1)求一次函數(shù)的解析式;
(2)設(shè)一次函數(shù)y=kx-k的圖象與y軸交于點(diǎn)B,若點(diǎn)P是x軸上一點(diǎn),且滿足△PAB的面積是6,請寫出點(diǎn)P的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,函數(shù)(x<0)與y=ax+b的圖象交于點(diǎn)A(﹣1,n)和點(diǎn)B(﹣2,1).
(1)求k,a,b的值;
(2)直線x=m與(x<0)的圖象交于點(diǎn)P,與y=﹣x+1的圖象交于點(diǎn)Q,當(dāng)∠PAQ>90°時(shí),直接寫出m的取值范圍.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中, , °,點(diǎn)D是線段BC上的動(dòng)點(diǎn),將線段AD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)50°至,連接.已知AB2cm,設(shè)BD為x cm,B為y cm.
小明根據(jù)學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗(yàn),對函數(shù)y隨自變量x的變化而變化的規(guī)律進(jìn)行了探究,下面是小明的探究過程,請補(bǔ)充完整.(說明:解答中所填數(shù)值均保留一位小數(shù))
(1)通過取點(diǎn)、畫圖、測量,得到了與的幾組值,如下表:
0.5 | 0.7 | 1.0 | 1.5 | 2.0 | 2.3 | ||
1.7 | 1.3 | 1.1 | 0.7 | 0.9 | 1.1 |
(2)建立平面直角坐標(biāo)系,描出以補(bǔ)全后的表中各對對應(yīng)值為坐標(biāo)的點(diǎn),畫出該函數(shù)的圖象.
(3)結(jié)合畫出的函數(shù)圖象,解決問題:
線段的長度的最小值約為__________ ;
若 ,則的長度x的取值范圍是_____________.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】不透明的袋子中裝有大小、質(zhì)地完全相同的2個(gè)白球和2個(gè)黑球.
(1) 先從袋中投出1個(gè)球后放回,混合均勻后再摸出1個(gè)球,則第一次摸到白球,第二次摸到黑球的概率為P1為__________;
(2) 若第一次從袋子中摸出1個(gè)球后不放回,第二次再摸出1個(gè)球,則兩次摸到的球中有1個(gè)白球和1個(gè)黑球的概率P2是多少?(請用畫樹形圖或列表法求出結(jié)果)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某實(shí)驗(yàn)學(xué)校校友會(huì)在今年開學(xué)初,到新華書店采購文學(xué)名著和自然科學(xué)兩類圖書.經(jīng)了解,購買30本文學(xué)名著和50本自然科學(xué)書共需2350元,20本文學(xué)名著比20本自然科學(xué)書貴500元.
(1)求每本文學(xué)名著和自然科學(xué)書的單價(jià).
(2)若該校校友會(huì)要求購買自然科學(xué)書比文學(xué)名著多30本,總費(fèi)用不超過2400元,請求出至多購買文學(xué)名著多少本?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,圓柱形容器中,高為1.2m,底面周長為1m,在容器內(nèi)壁離容器底部0.3m的點(diǎn)B處有一蚊子,此時(shí)一只壁虎正好在容器外壁,離容器上沿0.3m與蚊子相對的點(diǎn)A處,求壁虎捕捉蚊子的最短距離.(容器厚度忽略不計(jì))
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知,在銳角△ABC中,CE⊥AB于點(diǎn)E,點(diǎn)D在邊AC上,聯(lián)結(jié)BD交CE于點(diǎn)F,且EF·FC=FB·DF.
(1)求證:BD⊥AC;
(2)聯(lián)結(jié)AF,求證:AF·BE=BC·EF.
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