Question

在平面直角坐標系中，O為坐標原點．
（1）已知點A（3，1），連接OA，平移線段OA，使點O落在點B．設點A落在點C，作如下探究：
探究一：若點B的坐標為（1，2），請在圖1中作出平移后的像，則點C的坐標是；連接AC，BO，請判斷O，A，C，B四點構成的圖形的形狀，并說明理由；
探究二：若點B的坐標為（6，2），按探究一的方法，判斷O，A，B，C四點構成的圖形的形狀．
（溫馨提示：作圖時，別忘了用黑色字跡的鋼筆或簽字筆描黑喔！）
（2）通過上面的探究，請直接回答下列問題：
①若已知三點A（a，b），B（c，d），C（a+c，b+d），順次連接O，A，C，B，請判斷所得到的圖形的形狀；
②在①的條件下，如果所得到的圖形是菱形或者是正方形，請選擇一種情況，寫出a，b，c，d應滿足的關系式．

Answer 1

解：

（1）探究一：C（4，3），
四邊形OACB為平行四邊形，
理由如下：
由平移可知，OA∥BC，且OA=BC，
所以四邊形OACB為平行四邊形．
探究二：線段

（2）①平行四邊形或線段；
②菱形：a²+b²=c²+d²（a=-c，b=-d除外）
正方形：a=d且b=-c或b=c且a=-d．

分析：（1）由題意和圖象可知：OA應該右移三個單位，上移兩個單位后得出的C因此，C的坐標是（4，3）．因為是平移所以AO=BC，AO∥BC，所以四邊形OACB是平行四邊形．當B是（6，2）的時候，OAB三點在直線y=x上，因此OABC是條線段．
（2）①同（1）應該是平行四邊形或線段兩種情況．
②當OACB是菱形時，兩條鄰邊應該相等，AC=BC，因此=，因此a²+b²=c²+d²，
當OACB是正方形的時候．如果過B作BE⊥x軸，過A作AF⊥x軸，那么三角形BOE≌三角形AOF．AF=OE，OF=BE，即A點的橫坐標的絕對值=B點的橫坐標的絕對值，A點的縱坐標的絕對值=B點的縱坐標的絕對值，即a=d且b=-c或b=c且a=-d．
點評：本題考查圖形的平移變換．關鍵是要懂得左右平移點的縱坐標不變，而上下平移時點的橫坐標不變．