已知，如圖，在直角坐標(biāo)系中，矩形OABC的對角線AC所在直線解析式為y=-
3
3
x+1．
（1）在x軸上存在這樣的點(diǎn)M，使AMB為等腰三角形，求出所有符合要求的點(diǎn)M的坐標(biāo)；
（2）動點(diǎn)P從點(diǎn)C開始在線段CO上以每秒
3
個單位長度的速度向點(diǎn)O移動，同時，動點(diǎn)Q從點(diǎn)O精英家教網(wǎng)開始在線段OA上以每秒1個單位長度的速度向點(diǎn)A移動．設(shè)P、Q移動的時間為t秒．
①是否存在這樣的時刻2，使△OPQ與△BCP相似，并說明理由；
②設(shè)△BPQ的面積為S，求S與t間的函數(shù)關(guān)系式，并求出t為何值時，S有最小值．
分析：（1）因?yàn)橹本�AB的解析式已知，所以可求得A、B、C的坐標(biāo)，若△AMB是等腰三角形，則可能MA=MB或MA=AB或MB=AB，分別分析求解即可；
（2）①假設(shè)相似，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，相似三角形的對應(yīng)邊成比例，求解即可；
②因?yàn)镾=S矩形OABC-S△ABQ-S△OPQ-S△BCP求解即可．
解答：精英家教網(wǎng)解：（1）易知A（0，1），C（
3
，0），B（
3
，1）．
①AB為腰且MA=AB時，
由題意可知，AM2=AB=
3
，
∴OM2=
2
．
∴M2（
2
，0），由對稱性知M4（-
2
，0），
②AB為腰且MB=AB時，
由題意得OM4=OC-CM4=
3
-
2
，
∴M1（
3
-
2
，0），
由對稱性可知M3（
3
+
2
，0），
③AB為底邊，則M5（
1
2
3
，0）；

精英家教網(wǎng)（2）①假設(shè)存在這樣的時刻t，使△OPQ與△BCP相似．
∵CP=
3
t，OQ=t，OP=
3
-
3
t，
由
OQ
BC
=
OP
CP
或
OQ
CP
=
OP
BC
得：
t
1
=
3
-
3
t
3
t
或
t
3
t
=
3
-
3
t
t
，
即t2+t-1=0或3t=2，
解得t=
-1±
5
2
或t=
2
3
．
又∵0≤t≤1，
∴當(dāng)t=
-1+
5
2
或t=
2
3
時，△OPQ與△BCP相似．（7分）
②S=S矩形OABC-S△ABQ-S△OPQ-S△BCP
=
3
-
3
2
（1-t）-
1
2
t（
3
-
3
t）-
1
2
•
3
t
=
3
2
(t2-t+1)
=
3
2
（t-
1
2
）2+
3
3
8

當(dāng)t=
1
2
時，面積S有最小值，最小值是
3
3
8
．（10分）
點(diǎn)評：此題考查了平面坐標(biāo)系與四邊形，相似三角形的綜合知識，解題時要注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖（1）已知，矩形ABDC的邊AC=3，對角線長為5，將矩形ABDC置于直角坐系內(nèi)，點(diǎn)D與原點(diǎn)O重合．且反比例函數(shù)y=
k
x
的圖象的一個分支位于第一象限．
（1）求點(diǎn)A的坐標(biāo)；
（2）若矩形ABDC從圖（1）的位置開始沿x軸的正方向移動，每秒移動1個單位，1秒后點(diǎn)A剛好落在反比例函數(shù)y=
k
x
的圖象的圖象上，求k的值；
（3）矩形ABCD繼續(xù)向x軸的正方向移動，AB、AC與反比例函數(shù)圖象分別交于P、Q如圖（2），設(shè)移動的總時間為t（1＜t＜5），分別寫出△BPD的面積S1、△DCQ的面積S2與t的函數(shù)關(guān)系式；
（4）在（3）的情況下，當(dāng)t為何值時，S2=
10
7
S1？

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源：2011-2012學(xué)年甘肅省蘭州四中九年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：解答題

如圖（1）已知，矩形ABDC的邊AC=3，對角線長為5，將矩形ABDC置于直角坐系內(nèi)，點(diǎn)D與原點(diǎn)O重合．且反比例函數(shù)y=的圖象的一個分支位于第一象限．
（1）求點(diǎn)A的坐標(biāo)；
（2）若矩形ABDC從圖（1）的位置開始沿x軸的正方向移動，每秒移動1個單位，1秒后點(diǎn)A剛好落在反比例函數(shù)y=的圖象的圖象上，求k的值；
（3）矩形ABCD繼續(xù)向x軸的正方向移動，AB、AC與反比例函數(shù)圖象分別交于P、Q如圖（2），設(shè)移動的總時間為t（1＜t＜5），分別寫出△BPD的面積S1、△DCQ的面積S2與t的函數(shù)關(guān)系式；
（4）在（3）的情況下，當(dāng)t為何值時，S2=S1？

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源：2012年初中畢業(yè)升學(xué)考試（四川巴中卷）數(shù)學(xué)（解析版） 題型：解答題

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)的圖象與y軸交于點(diǎn)A，

與x軸交于點(diǎn)B，與反比例函數(shù)的圖象分別交于點(diǎn)M，N，已知△AOB的面積為1，點(diǎn)M的縱坐

標(biāo)為2，

（1）求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式；

（2）直接寫出時x的取值范圍。

 

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源：2013屆安徽滁州八年級下期末模擬數(shù)學(xué)試卷（滬科版）（解析版） 題型：解答題

已知：如圖1，平面直角坐標(biāo)系中，四邊形OABC是矩形，點(diǎn)A，C的坐

標(biāo)分別為（6，0），（0，2）．點(diǎn)D是線段BC上的一個動點(diǎn)（點(diǎn)D與點(diǎn)B，C不重合），過點(diǎn)D作直線＝－＋交折線O－A－B于點(diǎn)E．

（1）在點(diǎn)D運(yùn)動的過程中，若△ODE的面積為S，求S與的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量的取值范圍；

（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)E在線段OA上時，矩形OABC關(guān)于直線DE對稱的圖形為矩形O′A′B′C′，C′B′分別交CB，OA于點(diǎn)D，M，O′A′分別交CB，OA于點(diǎn)N，E．求證：四邊形DMEN是菱形；

（3）問題（2）中的四邊形DMEN中，ME的長為____________．

    

 

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源：2011年初中畢業(yè)升學(xué)考試（廣西欽州卷）數(shù)學(xué) 題型：解答題

（本題滿分8分）已知四邊形ABCD是邊長為4的正方形，以AB為直徑在正方形內(nèi)作半圓，P是半圓上的動點(diǎn)（不與點(diǎn)A、B重合），連接PA、PB、PC、PD．

    (1)如圖①，當(dāng)PA的長度等于 

時，∠PAB＝60°；

              當(dāng)PA的長度等于    時，△PAD是等腰三角形；

    (2)如圖②，以AB邊所在直線為x軸、AD邊所在直線為y軸，建立如圖所示的直角

坐標(biāo)系（點(diǎn)A即為原點(diǎn)O），把△PAD、△PAB、△PBC的面積分別記為S1、S2、S3．坐

標(biāo)為（a，b），試求2 S1 S3－S22的最大值，并求出此時a，b的值．

 

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同步練習(xí)冊答案