Question

如圖，點(diǎn)O為矩形ABCD的對(duì)稱中心，AB＝10cm，BC＝12cm．點(diǎn)E，F(xiàn)，G分別從A，B，C三點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，沿矩形的邊按逆時(shí)針?lè)较騽蛩龠\(yùn)動(dòng)，點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)速度為1cm/s，點(diǎn)F的運(yùn)動(dòng)速度為3cm／s，點(diǎn)G的運(yùn)動(dòng)速度為1.5cm／s．當(dāng)點(diǎn)F到達(dá)點(diǎn)C（即點(diǎn)F與點(diǎn)C重合）時(shí)，三個(gè)點(diǎn)隨之停止運(yùn)動(dòng)．在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，△EBF關(guān)于直線EF的對(duì)稱圖形是△EB'F，設(shè)點(diǎn)E，F(xiàn)，G運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t（單位：s）．

（1）當(dāng)t＝　 　 s時(shí)，四邊形EBFB'為正方形；
（2）若以點(diǎn)E，B，F(xiàn)為頂點(diǎn)的三角形與以點(diǎn)F，C，G為頂點(diǎn)的三角形相似，求t的值；
（3）是否存在實(shí)數(shù)t，使得點(diǎn)B'與點(diǎn)O重合？若存在，求出t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

解：（1）2.5。
（2）由題意得AE=t，BF=3t，CG=1.5t。
∵AB＝10，BC＝12，∴。
∵點(diǎn)F在BC上運(yùn)動(dòng)，∴，即。
①當(dāng)△EBF∽△FCG時(shí)，，∴，解得。
②當(dāng)△EBF∽△GCF時(shí)，，∴，化簡(jiǎn)，得。
解得（不合題意，舍去）。
∵，∴或符合題意。
∴若以點(diǎn)E，B，F(xiàn)為頂點(diǎn)的三角形與以點(diǎn)F，C，G為頂點(diǎn)的三角形相似，則或。
（3）不存在，理由如下：
如圖，連接BD。

∵點(diǎn)O為矩形ABCD的對(duì)稱中心，∴點(diǎn)O為BD的中點(diǎn)。
假設(shè)存在實(shí)數(shù)t，使得點(diǎn)B'與點(diǎn)O重合，此時(shí)，EF是OB的垂直平分線，垂足為點(diǎn)H。
∵易知，。
易證△EHB∽△BHF∽△BCD，
∴。∴。
∵點(diǎn)F的運(yùn)動(dòng)速度是點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)速度的3倍，但，
∴不存在實(shí)數(shù)t，使得點(diǎn)B'與點(diǎn)O重合。

解析試題分析：（1）由題意得AE=t，BF=3t。
∵AB＝10，BC＝12，∴。
由BE=BF得。
（2）分△EBF∽△FCG和△EBF∽△GCF討論即可。
（3）用反證法證明，假設(shè)存在實(shí)數(shù)t，使得點(diǎn)B'與點(diǎn)O重合，求出此時(shí)AE和BF的值，與已知的速度得到的比值比較得出錯(cuò)誤的結(jié)論。