Question

如圖，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，直角∠EPF的頂點(diǎn)P是BC的中點(diǎn)，兩邊PE，PF分別交AB，AC于點(diǎn)E，F(xiàn)，現(xiàn)給出以下四個結(jié)論：
（1）AE=CF；
（2）△EPF是等腰直角三角形；
（3）S_{四邊形AEPF}=

1

2

S_△ABC；
（4）EF=AP．當(dāng)∠EPF在△ABC內(nèi)繞頂點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)時（點(diǎn)E不與A，B重合），上述結(jié)論中是正確的結(jié)論的概率是（　　）

• A、1個
• B、3個
• C、

  1

  4

• D、

  3

  4

Answer 1

分析：根據(jù)題意，容易證明△AEP≌△CFP，然后能推理得到選項(xiàng)A，B，C都是正確的，選項(xiàng)D不正確．從而求出正確的結(jié)論的概率．

解答：解：∵AB=AC，∠BAC=90°，點(diǎn)P是BC的中點(diǎn)，∴∠EAP=

1

2

∠BAC=45°，AP=

1

2

BC=CP．
（1）在△AEP與△CFP中，∵∠EAP=∠C=45°，AP=CP，∠APE=∠CPF=90°-∠APF，∴△AEP≌△CFP．正確；
（2）由（1）知，△AEP≌△CFP，∴PE=PF．又∵∠EPF=90°，∴△EPF是等腰直角三角形．正確；
（3）∵△AEP≌△CFP，同理可證△APF≌△BPE．∴S_{四邊形AEPF}=S_△AEP+S_△APF=S_△CPF+S_△BPE=

1

2

S_△ABC．正確；
（4）不能得出EF=AP，錯誤．
故正確的結(jié)論的概率是

3

4

．
故選D．

點(diǎn)評：用到的知識點(diǎn)為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比；解決本題的關(guān)鍵是利用證明三角形全等的方法來得到正確結(jié)論．