(2013•嘉定區(qū)一模)已知點A、B、C是半徑長為2的半圓O上的三個點,其中點A是弧BC的中點(如圖),聯(lián)結AB、AC,點D、E分別在弦AB、AC上,且滿足AD=CE.
(1)求證:OD=OE;
(2)聯(lián)結BC,當BC=2
2
時,求∠DOE的度數(shù);
(3)若∠BAC=120°,當點D在弦AB上運動時,四邊形ADOE的面積是否變化?若變化,請簡述理由;若不變化,請求出四邊形ADOE的面積.
分析:(1)先證出△AOB≌△AOC,∠CAO=∠ABO,再根據(jù)BD=AE,證出△BOD≌△AOE,即可得出OD=OE;
(2)設OA和BC交于M,得出∠AOB=∠AOC,∠BOD=∠AOE,∠AOD=∠COE,則∠DOE=
1
2
∠BOC,∠AOC=
1
2
∠BOC,再根據(jù)AB=AC,得出OA⊥BC,CM=
1
2
BC=
2
,最后根據(jù)sin∠COM=
CM
OC
=
2
2
,得出∠COM=45°,∠BOC=90°,∠DOE=
1
2
∠BOC=45°;
(3)先證出S△AOB=S△AOC,S△BOD=S△AOE,S△AOB-S△BOD=S△AOC-S△AOE,S△AOD=S△COE,得出S△AOE+S△AOD=S△BOD+S△COE,S四邊形ADOE=
1
2
S四邊形ABOC,即可證出當點D在弦AB上運動時,四邊形ADOE的面積沒有變化,再根據(jù)∠ABC=120°,得出∠OAB=∠OAC=60°,ABOC是菱形,再求出AM=1,BC=2
3
,得出S菱形ABOC=2
3
,最后根據(jù)S四邊形ADOE=
1
2
S四邊形ABOC即可得出答案.
解答:解:(1)∵A是弧BC的中點,
∴AB=AC,
連接OB、OA、OC,
∵在△AOB和△AOC中,
AB=AC
OB=OA
OA=OC
,
∴△AOB≌△AOC(SSS),
∴∠CAO=∠ABO,
∵AD=CE,
∴AB-AD=AC-CE,
即BD=AE,
∵在△BOD和△AOE中,
OB=OA
∠CAO=∠ABO
BD=AE

∴△BOD≌△AOE(SAS),
∴OD=OE;

(2)設OA和BC交于M,
∵△AOB≌△AOC,
∴∠AOB=∠AOC,
∵△BOD≌△AOE,
∴∠BOD=∠AOE,
∴∠AOD=∠COE,
∴∠DOE=∠AOE+∠AOD=
1
2
∠BOC,
∠AOC=∠AOE+∠COE=
1
2
∠BOC,
∵AB=AC,
∴OA⊥BC,CM=
1
2
BC=
2
,
∴sin∠COM=
CM
OC
=
2
2

∴∠COM=45°,
∴∠BOC=90°,
∴∠DOE=
1
2
∠BOC=45°;

(3)∵△AOB≌△AOC,
∴S△AOB=S△AOC,
∵△BOD≌△AOE,
∴S△BOD=S△AOE
∴S△AOB-S△BOD=S△AOC-S△AOE,
∴S△AOD=S△COE,
∴S△AOE+S△AOD=S△BOD+S△COE
∴S四邊形ADOE=
1
2
S四邊形ABOC,
∴當點D在弦AB上運動時,四邊形ADOE的面積沒有變化,
∵∠BAC=120°,
∴∠OAB=∠OAC=60°,
∴ABOC是菱形,
∴AM=
1
2
AO=1
CM=
AC2-AM2
=
22-12
=
3

∴BC=2
3
,
∴S菱形ABOC=
1
2
×2
3
×2=2
3
,
∴S四邊形ADOE=
1
2
S四邊形ABOC=
3
點評:此題考查了圓的綜合,用到的知識點是垂徑定理、菱形的判定與性質、全等三角形的判定與性質、勾股定理等,關鍵是綜合應用有關知識,列出算式.
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