如圖:在直角坐標(biāo)系中,以點A(3,0)為圓心,以5為半徑的圓與x軸相交作業(yè)寶于B、C兩點,與y軸相交于D、E兩點.
(1)若拋物線數(shù)學(xué)公式經(jīng)過C、D兩點,求此拋物線的解析式,并判斷點B是否在這條拋物線上?
(2)過點E的直線y=kx+m交x軸于F(數(shù)學(xué)公式,0),求此直線的解析式,這條直線是⊙A的切線嗎?請說明理由;
(3)探索:是否能在(1)中的拋物線上找到一點Q,使直線BQ與x軸正方向所夾銳角的正切值等于數(shù)學(xué)公式?若能,請直接寫出Q點坐標(biāo);若不能,請說明理由.

解:連接AE,

由題意得,OD=OE=4,
故可得:C、D兩點坐標(biāo)為:C(8,0),D(0,-4),
把C、D兩點坐標(biāo)代入中,
得:
 解得:,
故所求二次函數(shù)為:,
∵B點坐標(biāo)為(-2,0),
∴當(dāng)x=-2時,,
∴點B在這條拋物線上.

(2)因為直線經(jīng)過點E(0,4),可設(shè)解析式為:y=kx+4,
把點F(,0)代入上式得:
故所求一次函數(shù)為:,
在Rt△OEF中,EF2=OE2+OF2=16+=,
在△AEF中,AF=3+,

∴EF2+AE2=+25==AF2,
∴∠AEF=90°,
∴EF是⊙O的切線.
(3)能找到這樣的點Q,
設(shè)存在點Q(x,x2-x-4),
∵直線BQ與x軸正方向所夾銳角的正切值等于
①若點Q在x軸上方時,此時=,
解得:x1=9,x2=-2(舍去),
故此時點Q的坐標(biāo)為(9,);
②若點Q在x軸下方時,=,
解得:x1=7,x2=-2(舍去),
故此時點Q的坐標(biāo)為(7,-).
故可得存在點Q的坐標(biāo),其坐標(biāo)分別為:(9,) 和 ().
分析:(1)連接AE,利用垂徑定理可求出點D的坐標(biāo)為(0,-4),根據(jù)圓的半徑為5,可得出點C的坐標(biāo)為(8,0),利用待定系數(shù)法求解即可;
(2)根據(jù)直線經(jīng)過點E(0,4),可設(shè)直線解析式為y=kx+4,將點F的坐標(biāo)代入可得出直線解析式,分別求出EF2,AF2,AE2,利用勾股定理的逆定理判斷出∠AEF為直角,繼而根據(jù)切線的判定可得出結(jié)論;
(3)由(1)得點B在拋物線上,設(shè)點Q的坐標(biāo)為(x,x2-x-4),分別討論點Q的位置,①點Q在x軸上方,②點Q在x軸下方,利用正切值建立方程,解出即可得出答案.
點評:此題屬于圓的綜合題,涉及了切線的判定、待定系數(shù)法求函數(shù)解析式及三角函數(shù)的知識,綜合性較強(qiáng),難度較大,解答本題的關(guān)鍵是掌握各個知識點之間的融會貫通.
練習(xí)冊系列答案
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18、如圖,在直角坐標(biāo)系中,已知點A(-3,0),B(0,4),對△OAB連續(xù)作旋轉(zhuǎn)變換,依次得到三角形①、②、③、④…,則三角形⑦的直角頂點的坐標(biāo)為
(24,0)

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精英家教網(wǎng)如圖,在直角坐標(biāo)系中,點P的坐標(biāo)為(3,4),將OP繞原點O逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段OP′.
(1)在圖中畫出線段OP′;
(2)求P′的坐標(biāo)和
PP′
的長度.

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如圖,在直角坐標(biāo)系中,O為原點.反比例函數(shù)y=
6
x
的圖象經(jīng)過第一象限的點A,點A的縱坐標(biāo)是橫坐標(biāo)的
3
2
倍.
(1)求點A的坐標(biāo);
(2)如果經(jīng)過點A的一次函數(shù)圖象與x軸的負(fù)半軸交于點B,AC⊥x軸于點C,若△ABC的面積為9,求這個一次函數(shù)的解析式.
(3)點D在反比例函數(shù)y=
6
x
的圖象上,且點D在直線AC的右側(cè),作DE⊥x軸于點E,當(dāng)△ABC與△CDE相似時,求點D的坐標(biāo).

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如圖,在直角坐標(biāo)系中,△ABC的三個頂點的坐標(biāo)分別為A(-6,0),B(-4,6),C(0,2).畫出△ABC的兩個位似圖形△A1B1C1,△A2B2C2,同時滿足下列兩個條件:
(1)以原點O為位似中心;
(2)△A1B1C1,△A2B2C2與△ABC的面積比都是1:4.(作出圖形,保留痕跡,標(biāo)上相應(yīng)字母)

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(1)△AOB的面積是
6
6
;
(2)三角形(2013)的直角頂點的坐標(biāo)是
(8052,0)
(8052,0)

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