Question

如圖，某城市有一條公路，從正西方向AO經(jīng)過(guò)市中心，后轉(zhuǎn)向北偏東30°方向OB．現(xiàn)要修建一條高速公路L，新建高速公路在OA上設(shè)一出入口A，在OB上設(shè)一出入口B，高速公路在AB段為直線(xiàn)段．
（1）若OA=OB=20km，求兩出入口之間的距離；
（2）若OB=2OA，市中心O到高速公路L的距離為10km，求兩出入口之間的距離；
（3）請(qǐng)你設(shè)計(jì)一種方案：確定兩出入口的位置（兩出入口到市中心O的距離不相等），使市中心到高速公路的距離擴(kuò)大到12km．（不要求寫(xiě)出計(jì)算過(guò)程）

Answer 1

（1）作OC⊥AB于C，
∴∠ACO=∠BCO=90°．
∵OA=OB=20km∠AOB=120°，
∴∠CAO=∠CBO=30°．
∴OC=

1

2

OA=10km．
∴AC=BC=

3

OC=10

3

km．
∴AB=20

3

km．
答：兩出入口之間的距離是20

3

km．

（2）作OC⊥AB于C，作BD⊥AO交AO的延長(zhǎng)線(xiàn)于D，
∴∠ACO=∠BCO=∠BDO=90°
∵∠AOB=120°
∴∠BOD=60°
∴∠OBD=90°-60°=30°
設(shè)OD=x則BD=

3

x，
∵OB=2OA，
∴OA=x則AD=AO+DO=2xAB=

AD2+BD2

=

7

x．
∵∠A=∠A，
∴△AOC∽△ABD．
∴

OC

BD

=

AO

AB

即

10

3 x

=

x

7 x

解得x=

10 21

3

．
∴AB=

7

x=

70 3

3

．

（3）答案不唯一：只要能夠說(shuō)出一組符合要求的OA和OB的長(zhǎng)度即可，如取OA=15km時(shí)，OB=

240+180 3

11

km，
（OA和OB的值大于12km，且OA≠OB，先給出OA的值，然后求OB的值）不要求寫(xiě)出計(jì)算過(guò)程．