Question

【題目】如圖，已知二次函數(shù)L：y＝mx2+2mx+k（其中m，k是常數(shù)，k為正整數(shù)）．

（1）若L經(jīng)過點(diǎn)（1，k+6），求m的值．

（2）當(dāng)m＝2，若L與x軸有公共點(diǎn)時(shí)且公共點(diǎn)的橫坐標(biāo)為非零的整數(shù)，確定k的值；

（3）在（2）的條件下將L：y＝mx2+2mx+k的圖象向下平移8個(gè)單位，得到函數(shù)圖象M，求M的解析式；

（4）將M的圖象在x軸下方的部分沿x軸翻折，圖象的其余部分保持不變，得到一個(gè)新的圖象N，請結(jié)合新的圖象解答問題，若直線y＝x+b與N有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，請直接寫出b的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）m＝2，（2）k＝2；（3）y＝2x2+4x﹣6；；（4）﹣＜b＜或b＞．

【解析】

（1）將點(diǎn)（1，k+6）代入y＝mx2+2mx+k，即可求解；

（2）由題意得：△＝16﹣8k≥0，即可求解；

（3）根據(jù)平移的公式即可求解；

（4）確定點(diǎn)H、A、B三個(gè)臨界點(diǎn)，求出臨界點(diǎn)時(shí)b的值，即可求解．

解：（1）將點(diǎn)（1，k+6）代入y＝mx2+2mx+k并解得：

m＝2；

（2）y＝mx2+2mx+k＝2x2+4x+k，

由題意得：△＝16﹣8k≥0，解得：k≤2，

∵k為正整數(shù)，當(dāng)k＝1時(shí)，方程沒有整數(shù)解，故舍去，

則k＝2；

（3）在m＝2，k＝2時(shí)，y＝2x2+4x+2，向下平移8個(gè)單位，

平移后的表達(dá)式為：y＝2x2+4x+2﹣8＝2x2+4x﹣6；

（4）由（3）知，M的表達(dá)式為：y＝2x2+4x﹣6①，

則翻折后拋物線的表達(dá)式為：y′＝﹣2x2﹣4x+6②，

設(shè)直線m為：y＝x+b③，

①當(dāng)直線m與翻折后的圖象有一個(gè)交點(diǎn)（點(diǎn)H）時(shí)，如下圖，

聯(lián)立②③并整理得：2x2+x+b﹣6＝0，

則△＝﹣8（b﹣6）＝0，解得：b＝；

②當(dāng)直線m過點(diǎn)A（﹣3，0）時(shí)，

將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入③式得，0＝×（﹣3）+b，解得：b＝；

③當(dāng)直線m過點(diǎn)B時(shí)，

同理可得：b＝﹣；

故直線y＝x+b與N有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，b的取值范圍為：﹣＜b＜或b＞．