Question

【題目】如圖，拋物線y=ax2+6x+c交x軸于A，B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C．直線y=x﹣5經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，C．

（1）求拋物線的解析式；

（2）過(guò)點(diǎn)A的直線交直線BC于點(diǎn)M．

①當(dāng)AM⊥BC時(shí)，過(guò)拋物線上一動(dòng)點(diǎn)P（不與點(diǎn)B，C重合），作直線AM的平行線交直線BC于點(diǎn)Q，若以點(diǎn)A，M，P，Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求點(diǎn)P的橫坐標(biāo)；

②連接AC，當(dāng)直線AM與直線BC的夾角等于∠ACB的2倍時(shí)，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）拋物線解析式為y=﹣x2+6x﹣5；（2）①P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為4或或；②點(diǎn)M的坐標(biāo)為（，﹣）或（，﹣）．

【解析】（1）利用一次函數(shù)解析式確定C（0，-5），B（5，0），然后利用待定系數(shù)法求拋物線解析式；

（2）①先解方程-x2+6x-5=0得A（1，0），再判斷△OCB為等腰直角三角形得到∠OBC=∠OCB=45°，則△AMB為等腰直角三角形，所以AM=2，接著根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到PQ=AM=2，PQ⊥BC，作PD⊥x軸交直線BC于D，如圖1，利用∠PDQ=45°得到PD=PQ=4，設(shè)P（m，-m2+6m-5），則D（m，m-5），討論：當(dāng)P點(diǎn)在直線BC上方時(shí)，PD=-m2+6m-5-（m-5）=4；當(dāng)P點(diǎn)在直線BC下方時(shí)，PD=m-5-（-m2+6m-5），然后分別解方程即可得到P點(diǎn)的橫坐標(biāo)；

②作AN⊥BC于N，NH⊥x軸于H，作AC的垂直平分線交BC于M1，交AC于E，如圖2，利用等腰三角形的性質(zhì)和三角形外角性質(zhì)得到∠AM1B=2∠ACB，再確定N（3，-2），

AC的解析式為y=5x-5，E點(diǎn)坐標(biāo)為（，-），利用兩直線垂直的問(wèn)題可設(shè)直線EM1的解析式為y=-x+b，把E（，-）代入求出b得到直線EM1的解析式為y=-x-，則解方程組得M1點(diǎn)的坐標(biāo)；作直線BC上作點(diǎn)M1關(guān)于N點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)M2，如圖2，利用對(duì)稱性得到∠AM2C=∠AM1B=2∠ACB，設(shè)M2（x，x-5），根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式得到3=，然后求出x即可得到M2的坐標(biāo)，從而得到滿足條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)．

（1）當(dāng)x=0時(shí)，y=x﹣5=﹣5，則C（0，﹣5），

當(dāng)y=0時(shí)，x﹣5=0，解得x=5，則B（5，0），

把B（5，0），C（0，﹣5）代入y=ax2+6x+c得

，解得，

∴拋物線解析式為y=﹣x2+6x﹣5；

（2）①解方程﹣x2+6x﹣5=0得x1=1，x2=5，則A（1，0），

∵B（5，0），C（0，﹣5），

∴△OCB為等腰直角三角形，

∴∠OBC=∠OCB=45°，

∵AM⊥BC，

∴△AMB為等腰直角三角形，

∴AM=AB=×4=2，

∵以點(diǎn)A，M，P，Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，AM∥PQ，

∴PQ=AM=2，PQ⊥BC，

作PD⊥x軸交直線BC于D，如圖1，則∠PDQ=45°，

∴PD=PQ=×2=4，

設(shè)P（m，﹣m2+6m﹣5），則D（m，m﹣5），

當(dāng)P點(diǎn)在直線BC上方時(shí)，

PD=﹣m2+6m﹣5﹣（m﹣5）=﹣m2+5m=4，解得m1=1，m2=4，

當(dāng)P點(diǎn)在直線BC下方時(shí)，

PD=m﹣5﹣（﹣m2+6m﹣5）=m2﹣5m=4，解得m1=，m2=，

綜上所述，P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為4或或；

②作AN⊥BC于N，NH⊥x軸于H，作AC的垂直平分線交BC于M1，交AC于E，如圖2，

∵M1A=M1C，

∴∠ACM1=∠CAM1，

∴∠AM1B=2∠ACB，

∵△ANB為等腰直角三角形，

∴AH=BH=NH=2，

∴N（3，﹣2），

易得AC的解析式為y=5x﹣5，E點(diǎn)坐標(biāo)為（，﹣，

設(shè)直線EM1的解析式為y=﹣x+b，

把E（，﹣）代入得﹣+b=﹣，解得b=﹣，

∴直線EM1的解析式為y=﹣x﹣

解方程組得，則M1（，﹣）；

作直線BC上作點(diǎn)M1關(guān)于N點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)M2，如圖2，則∠AM2C=∠AM1B=2∠ACB，

設(shè)M2（x，x﹣5），

∵3=

∴x=，

∴M2（，﹣）.

綜上所述，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（，﹣）或（，﹣）．