Question

如圖，已知二次函數(shù)y=x²+bx+3與x軸交于點(diǎn)B（3，0），與y軸交于點(diǎn)A，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，P是二次函數(shù)y=x²+bx+3的圖象上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)是m，且m＞3，過(guò)點(diǎn)P作PM，PM交直線AB于M．
（1）求二次函數(shù)的解析式；
（2）若以AB為直徑的⊙N恰好與直線PM相切，求此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)；
（3）在點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，△APM能否為等腰三角形？若能，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不能請(qǐng)說(shuō)出理由．

Answer 1

（1）將點(diǎn)B（3，0）坐標(biāo)代入y=x²+bx+3得：0=9+3b+3，
解得b=-4，
∴二次函數(shù)的解析式為y=x²-4x+3；

（2）令x=0，則y=3，∴A點(diǎn)坐標(biāo)為A（0，3），
直線AB的解析式為y=-x+3，
C為⊙C的圓心，CA=CB=

3

2

2

，
故C點(diǎn)坐標(biāo)為（

3

2

，

3

2

），
過(guò)C作CD⊥PM于點(diǎn)D，CD=CA=CB=

3

2

2

，
∴D點(diǎn)坐標(biāo)為（

3

2

(1+

2

)，

3

2

），
x_M=

3

2

(1+

2

)，
將x_M=

3

2

(1+

2

)代入y=-x+3得y_M=

3

2

(1-

2

)，
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（

3

2

(1+

2

)，

3

2

(1-

2

)）；

（3）若△APM為等腰三角形，進(jìn)行分類討論；
①當(dāng)PA=PM時(shí)，P（m，m²-4m+3）則M（m，-m+3），
|PM|=|m²-3m|，|PA|=

m2+(m2-4m)2

，|AM|=

m2+(3+m-3)2

=m

2

；
由PA=PM可得|m²-3m|=

m2+(m2-4m)2

，
解得m=4，m²-4m+3=3，
則P點(diǎn)坐標(biāo)為P（4，3），
②當(dāng)PA=AM時(shí)，

m2+(m2-4m)2

=m

2

，
解得m=3，或m=5，
當(dāng)m=3時(shí)，m²-4m+3=0，由題意可知m＞3，故m=3不合題意；
當(dāng)m=5時(shí)，m²-4m+3=8，
故點(diǎn)P坐標(biāo)為（5，8），
③當(dāng)PA=AM時(shí)，|m²-3m|=m

2

，
解得m=3+

2

或m=3-

2

，
由題意可知m＞3，故m=3-

2

舍去，
當(dāng)m=3+

2

時(shí)，m²-4m+3=2

2

+2，
故點(diǎn)P坐標(biāo)為（3+

2

，2+

2

）．