Question

如圖所示，已知直線L過(guò)點(diǎn)A（0，1）和B（1，0），P是x軸正半軸上的動(dòng)點(diǎn)，OP的垂直平分線交L于點(diǎn)Q，交x軸于點(diǎn)M．
（1）直接寫出直線L的解析式；
（2）設(shè)OP=t，△OPQ的面積為S，求S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式；并求出當(dāng)0＜t＜2時(shí)，S的最大值；
（3）直線L₁過(guò)點(diǎn)A且與x軸平行，問(wèn)在L₁上是否存在點(diǎn)C，使得△CPQ是以Q為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形？若存在，求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，并證明；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）已知直線L過(guò)A，B兩點(diǎn)，可將兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入直線的解析式中，用待定系數(shù)法求出直線L的解析式；
（2）求三角形OPQ的面積，就需知道底邊OP和高QM的長(zhǎng)，已知了OP為t，關(guān)鍵是求出QM的長(zhǎng)．已知了QM垂直平分OP，那么OM=

1

2

t，然后要分情況討論：
①當(dāng)OM＜OB時(shí)，即0＜t＜2時(shí)，BM=OB-OM，然后在等腰直角三角形BQM中，即可得出QM=BM，由此可根據(jù)三角形的面積公式得出S與t的函數(shù)關(guān)系式．
②當(dāng)OM＞OB時(shí)，即當(dāng)t≥2時(shí)，BM=OM-OB，然后根據(jù)①的方法即可得出S與t的函數(shù)關(guān)系式．
然后可根據(jù)0＜t＜2時(shí)的函數(shù)的性質(zhì)求出S的最大值；
（3）如果存在這樣的點(diǎn)C，那么CQ=QP=OQ，因此C，O就關(guān)于直線BL對(duì)稱，因此C的坐標(biāo)應(yīng)該是（1，1）．那么只需證明CQ⊥PQ即可．分三種情況進(jìn)行討論．
①當(dāng)Q在線段AB上（Q，B不重合），且P在線段OB上時(shí)．要證∠CQP=90°，那么在四邊形CQPB中，就需先證出∠QCB與∠QPB互補(bǔ)，由于∠QPB與∠QPO互補(bǔ)，而∠QPO=∠QOP，因此只需證∠QCB=∠QOB即可，根據(jù)折疊的性質(zhì)，這兩個(gè)角相等，由此可得證．

②當(dāng)Q在線段AB上，P在OB的延長(zhǎng)線上時(shí)，根據(jù)①已得出∠QPB=∠QCB，那么這兩個(gè)角都加上一個(gè)相等的對(duì)頂角后即可得出∠CQP=∠CBP=90度．
③當(dāng)Q與B重合時(shí)，很顯然，三角形CQP應(yīng)該是個(gè)等腰直角三角形．
綜上所述即可得出符合條件C點(diǎn)的坐標(biāo)．

解答：解：由題意得
（1）y=1-x；

（2）∵OP=t，
∴Q點(diǎn)的橫坐標(biāo)為

1

2

t，
①當(dāng)0＜

1

2

t＜1，即0＜t＜2時(shí)，QM=1-

1

2

t，
∴S_△OPQ=

1

2

t（1-

1

2

t）．
②當(dāng)t≥2時(shí)，QM=|1-

1

2

t|=

1

2

t-1，
∴S_△OPQ=

1

2

t（

1

2

t-1）．
∴S=

1 2 t(1- 1 2 t)，0＜t＜2 1 2 t( 1 2 t-1)，t≥2

當(dāng)0＜

1

2

t＜1，即0＜t＜2時(shí)，S=

1

2

t（1-

1

2

t）=-

1

4

（t-1）²+

1

4

，
∴當(dāng)t=1時(shí)，S有最大值

1

4

；


（3）由OA=OB=1，
所以△OAB是等腰直角三角形，
若在L₁上存在點(diǎn)C，使得△CPQ是以Q為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，
則PQ=QC，
所以O(shè)Q=QC，又L₁∥x軸，則C，O兩點(diǎn)關(guān)于直線L對(duì)稱，
所以AC=OA=1，得C（1，1）．下面證∠PQC=90度．連CB，則四邊形OACB是正方形．
①當(dāng)點(diǎn)P在線段OB上，Q在線段AB上（Q與B、C不重合）時(shí)，如圖-1．
由對(duì)稱性，得∠BCQ=∠QOP，∠QPO=∠QOP，
∴∠QPB+∠QCB=∠QPB+∠QPO=180°，
∴∠PQC=360°-（∠QPB+∠QCB+∠PBC）=90度．
②當(dāng)點(diǎn)P在線段OB的延長(zhǎng)線上，Q在線段AB上時(shí)，如圖-2，如圖-3
∵∠QPB=∠QCB，∠1=∠2，
∴∠PQC=∠PBC=90度．
③當(dāng)點(diǎn)Q與點(diǎn)B重合時(shí)，顯然∠PQC=90度．
綜合①②③，∠PQC=90度．
∴在L₁上存在點(diǎn)C（1，1），使得△CPQ是以Q為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形．

點(diǎn)評(píng)：本題結(jié)合了三角形的相關(guān)知識(shí)考查了一次函數(shù)及二次函數(shù)的應(yīng)用，要注意的是（2）中為保證線段的長(zhǎng)度不為負(fù)數(shù)要分情況進(jìn)行求解．（3）中由于Q，P點(diǎn)的位置不確定，因此要分類進(jìn)行討論不要漏解．