Question

（2011•朝陽(yáng)）平面直角坐標(biāo)中，對(duì)稱軸平行于y軸的拋物線經(jīng)過原點(diǎn)O，其頂點(diǎn)坐標(biāo)為（3，-

9

2

）；Rt△ABC的直角邊BC在x軸上，直角頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為（

1

2

，0），且BC=5，AC=3（如圖（1））．
（1）求出該拋物線的解析式；
（2）將Rt△ABC沿x軸向右平移，當(dāng)點(diǎn)A落在（1）中所求拋物線上時(shí)Rt△ABC停止移動(dòng)．D（0，4）為y軸上一點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為m，△DAB的面積為s．
①分別求出點(diǎn)B位于原點(diǎn)左側(cè)、右側(cè)（含原點(diǎn)O）時(shí)，s與m之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出相應(yīng)自變量m的取值范圍（可在圖（1）、圖（2）中畫出探求）；
②當(dāng)點(diǎn)B位于原點(diǎn)左側(cè)時(shí)，是否存在實(shí)數(shù)m，使得△DAB為直角三角形？若存在，直接寫出m的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為（3，-

9

2

），利用頂點(diǎn)式求出即可；
（2）根據(jù)當(dāng)點(diǎn)B位于原點(diǎn)左側(cè)時(shí)以及當(dāng)點(diǎn)B位于原點(diǎn)右側(cè)（含原點(diǎn)O）時(shí)，分別分析即可得出答案．

解答：解：（1）由題意，設(shè)所求拋物線為
y=a（x-3）²-

9

2

．①
將點(diǎn)（0，0）代入①，得a=

1

2

．
∴y=

1

2

x²-3x．

（2）①當(dāng)點(diǎn)B位于原點(diǎn)左側(cè)時(shí)，如圖（1）：
S=S_△OBD+S_梯形OCAD-S_△ABC，
=

1

2

•4•（-m）+

1

2

（4+3）（5+m）-

15

2

，
=

3

2

m+10．
∴S=

3

2

m+10．（-4.5≤m＜0），
當(dāng)點(diǎn)B位于原點(diǎn)右側(cè)（含原點(diǎn)O）時(shí)，如圖（2）：
S=S_梯形OCAD-S_△OBD-S_△ABC，
=

1

2

（4+3）（5+m）-

1

2

•4•m-

15

2

，
=

3

2

m+10．
∴S=

3

2

m+10．（0≤m＜

15

-2），
②m₁=-1，m₂=-4，m₃=-4.4．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，根據(jù)頂點(diǎn)式求出二次函數(shù)解析式是解題關(guān)鍵，注意根據(jù)B位置進(jìn)行討論，不要漏解．