Question

在△ABC中，H為垂心，M為BC上的中點，AD為BC上的高，且AD=BC（AC＞AB）．求證：HD+HM=MC．

Answer 1

分析：根據(jù)題意作輔助線，根據(jù)垂心的定義及已知條件得出△ABD∽△CHD，設AD=BC=1，BD=x，則CD=1-x，根據(jù)三角形相似對應邊成比例的性質(zhì)得出DH，根據(jù)勾股定理分別得出HD+HM及MC，從而得出結論．

解答： 解：連CH，
∵H為垂心，
∴CH⊥AB
又∵AD⊥BC，
∴△ABD∽△CHD，
設AD=BC=1，BD=x，則CD=1-x，DM=

1

2

-x，
∵

AD

BD

=

CD

DH

，

AD

x

=

BC-x

DH

，
∴DH=（1-x）x，
HM²=DH²+DM²=[（1-x）x]²+(

1

2

-x)2
=[x(1-x)-

1

2

]2
∵AC＞AB，BD=x＜

1

2

∴x（1-x）=x-x²=-(x-

1

2

)2+

1

4

＜

1

4

，
∴HM=-x（1-x）+

1

2

HD+HM=（1-x）x-x（1-x）+

1

2

=

1

2

=

BC

2

=CM，
∴HD+HM=CM．

點評：本題主要考查了垂心的性質(zhì)，相似三角形的判斷及對應邊成比例的性質(zhì)、勾股定理的應用，比較綜合，難度較大．