如圖,正方形ABCO的邊長為數(shù)學(xué)公式,以O(shè)為原點建立平面直角坐標(biāo)系,點A在x軸的負(fù)半軸上,點C在y軸的正半軸上,把正方形ABCO繞點O順時針旋轉(zhuǎn)α后得到正方形A1B1C1O(α<45°),B1C1交y軸于點D,且D為B1C1的中點,拋物線y=ax2+bx+c過點A1、B1、C1
(1)填空:tanα=______;拋物線的函數(shù)表達式是______;
(2)在拋物線的對稱軸上是否存在點P,使△PB1C1為直角三角形?若存在,直接寫出所有滿足條件的P點坐標(biāo);若不存在,請說明理由;
(3)若正方形A1B1C1O以每秒2數(shù)學(xué)公式個單位長度的速度沿射線A1O下滑,直至頂點B1落在x軸上時停止.設(shè)正方形落在x軸上方部分的面積為S,求S關(guān)于滑行時間t的函數(shù)關(guān)系式,并寫出相應(yīng)自變量t的取值范圍.

解:(1)①∵四邊形A1B1C1O為正方形,
∴OC1=B1C1,∠OC1B1=90度.
又∵D是B1C1的中點,

∵由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知,∠C1OD=∠AOA1=α,
∴在Rt△C1OD中,tanα=
∴tanα的值是
②過點A1作A1E⊥x軸,垂足為點E.
在Rt△A1EO中,tanα=

設(shè)A1E=k,則OE=2k,在Rt△A1EO中,,
根據(jù)勾股定理,得A1E2+OE2=OA12

解得k1=-1(舍),k2=1.
∴A1E=1,OE=2.
又∵點A1在第二象限,
∴點A1的坐標(biāo)為(-2,1).
直接寫出點B1的坐標(biāo)為(-1,3),點C1的坐標(biāo)為(1,2).
∵拋物線y=ax2+bx+c過點A1,B1,C1

解得
∴拋物線的函數(shù)表達式為

(2)將(1)的拋物線解析式配方,得
∴拋物線的對稱軸是直線
假設(shè)存在符合條件的點P,分三種情況:
①以點B1為直角頂點;
易求得,直線A1B1的解析式:y=2x+5,
當(dāng)x=-時,y=2×(-)+5=;
②以點C1為直角頂點;
易求得,直線OC1的解析式:y=2x,
當(dāng)x=-時,y=2×(-)=-
③以點P為直角頂點;
分別過點B1、C1作拋物線對稱軸的垂線,垂足為G、H;(如右圖)
設(shè)點P(-,y):
當(dāng)點P在直線B1C1上方時,
B1G=1-=、PG=y-3、C1H=1+=、PH=y-2
∵∠B1PG=90°-∠C1PH=∠PC1H,∠B1GP=∠PHC1=90°
∴△B1GP∽△PHC1,則
解得:y=、y=(舍);
當(dāng)點P在直線B1C1下方時,同上,可求得y=;
綜上,存在點P,使△PB1C1為直角三角形.
滿足條件的點P共有4個:,,,

(3)設(shè)運動后的正方形為O′A′B′C′,分三種情況:
①當(dāng)點A′運動到x軸上時,t=;
當(dāng)0<t≤時,如圖①;
OO′=2t,O′E=OO′=t
∴S=S正方形-S△OO′E=5-×2t=-5t2+5;
②當(dāng)點C′運動到x軸上時,t=1;
當(dāng)<t<1時,如圖②;
OO′=2t,OA′=2t-,A′F=OA′=,O′E=OO′=t
B′F=A′B′-A′F=,C′E=O′C′-O′E=-t;
∴S=(B′F+C′E)×B′C′=+-t)×=
③當(dāng)點B′運動到x軸上時,t=;
當(dāng)1≤t<時,如圖③;
同②可得:B′F=A′B′-A′F=,B′E=2B′F=3-2t;
∴S=××(3-2t)=5t2-15t+;
綜上,S=

分析:(1)①在Rt△ODC1中,由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知,∠DOC1=α,而DC1是正方形邊長的一半,可據(jù)此求出∠α的正切值;
②在求拋物線的解析式中,必須先求出A1、B1、C1三點的坐標(biāo),可過這三點分別作坐標(biāo)軸的垂線(具體向哪條坐標(biāo)軸作垂線,可視情況而定),通過構(gòu)建的直角三角形以及∠α的正切值,可求出這三點的坐標(biāo),再利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式即可.
(2)首先要大致確定有幾個符合條件的點P:
①點B1是直角頂點,那么點P必為直線A1B1與拋物線對稱軸的交點(有一個);
②點C1是直角頂點,那么點P必為直線OC1與拋物線對稱軸的交點(有一個);
③點P是直角頂點,那么點P必為以線段B1C1為直徑的圓與拋物線對稱軸的交點(有兩個),可過B1、C1作對稱軸的垂線,通過構(gòu)建的相似三角形來求出點P的坐標(biāo).
(3)此題的思路并不復(fù)雜,但需要考慮的情況較多,大致分成三段考慮即可:
①x軸在O、A1兩點之間、②x軸在A1、C1兩點之間、③x軸在B1、C1兩點之間.
點評:此題涉及的內(nèi)容相等復(fù)雜,難度很大,主要考查的知識點有:函數(shù)解析式的確定、正方形的性質(zhì)、圖形的旋轉(zhuǎn)、解直角三角形的應(yīng)用、相似三角形與直角三角形的判定和性質(zhì)以及圖形面積的解法等等.后兩題涉及的情況較多,一定要注意分類討論.最后一題中,一定要注意t的不同取值范圍內(nèi),正方形的運動位置.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,正方形ABCO放在平面直角坐標(biāo)系中,其中點O為坐標(biāo)原點,A、C兩點分別在x軸的負(fù)半軸和y軸的正半軸上,點B的坐標(biāo)為(-4,4).已知點E、點F分別從A、點B同時出發(fā),點E以每秒2個單位長度的速度在線段AB上來回運動.點F沿B→C→0方向,以每秒1個單位長度的速度向點O運動,當(dāng)點F到達點O時,E、F兩點都停止運動.在E、F的運動過程中,存在某個時刻,使得△OEF的面積為6.那么點E的坐標(biāo)為
 

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(1)直接寫出點D1的坐標(biāo);
(2)求點D旋轉(zhuǎn)到點D1所經(jīng)過的路線長.

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精英家教網(wǎng)如圖,正方形ABCO的邊長是2,E是BC中點,則E點的坐標(biāo)是
 
,直線AE的解析式是
 

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,正方形ABCO的邊長為
5
,以O(shè)為原點建立平面直角坐標(biāo)系,點A在x軸的負(fù)半軸上,點C在y軸的正半軸上,把正方形ABCO繞點O順時針旋轉(zhuǎn)α后得到正方形A1B1C1O(α<45°),精英家教網(wǎng)B1C1交y軸于點D,且D為B1C1的中點,拋物線y=ax2+bx+c過點A1、B1、C1
(1)求tanα的值;
(2)求點A1的坐標(biāo),并直接寫出點B1、點C1的坐標(biāo);
(3)求拋物線的函數(shù)表達式及其對稱軸;
(4)在拋物線的對稱軸上是否存在點P,使△PB1C1為直角三角形?若存在,直接寫出所有滿足條件的點P的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,正方形ABCO的邊長為
5
,O為原點,BC交y軸于點D,且D為BC邊的中點,拋物線y=a精英家教網(wǎng)x2+bx+c經(jīng)過B、C且與y軸的交點為E(0,
10
3
)

(1)求點C的坐標(biāo),并直接寫出點A、B的坐標(biāo);
(2)求拋物線的解析式及對稱軸;
(3)探索在拋物線的對稱軸上是否存在點P,使△PBC為直角三角形?若存在,直接寫出所有滿足條件的P點坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

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