Question

【題目】正方形的邊長(zhǎng)為，點(diǎn)分別是線(xiàn)段上的動(dòng)點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)，交邊于，過(guò)作，垂足為，交邊于點(diǎn).

（1）如圖1，若點(diǎn)與點(diǎn)重合，求證：；

（2）如圖2，若點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以的速度沿向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以的速度沿向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為.

①設(shè),求關(guān)于t的函數(shù)表達(dá)式；

②當(dāng)時(shí)，連接，求的長(zhǎng).

Answer 1

【答案】（1）詳見(jiàn)解析；（2）①；②5.

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)已知條件易證△ABF≌△NAD，由全等三角形的性質(zhì)即可得；（2）

先證△ABF∽△NAD，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)求得；（3）利用△ABF∽△NAD，求得t=2，根據(jù)（2）的函數(shù)解析式求得BF的長(zhǎng)，再由勾股定理即可得FN的長(zhǎng).

試題解析：

【解】

（1）∵正方形

∴AD=AB,∠DAN=∠FBA=90°

∵

∴∠NAH+∠ANH=90°

∵∠NDA+∠ANH=90°

∴∠NAH=∠NDA

∴△ABF≌△NAD

∴

（2）①∵正方形

∴AD∥BF

∴∠ADE=∠FBE

∵∠AED=∠BEF

∴△EBF∽△EAD

∴

∵正方形

∴AD=DC=CB=6

∴BD=

∵點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以的速度沿向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為.

∴BE=，DE=

∴

∴

②當(dāng)時(shí)，連接，求的長(zhǎng).

∵正方形

∴∠MAN=∠FBA=90°

∵

∴∠NAH+∠ANH=90°

∵∠NMA+∠ANH=90°

∴∠NAH=∠NMA

∴△ABF∽△NAD

∴

∵，AB=6

∴AN=2,BN=4

∴

∴t=2

把t=2代入，得y=3，即BF=3,

在RT△BFN中，BF=3,BN=4,

根據(jù)勾股定理即可得FN=5.