Question

△ABC是等邊三角形，點(diǎn)D是射線BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)D不與點(diǎn)B、C重合），△ADE是以AD為邊的等邊三角形，過(guò)點(diǎn)E作BC的平行線，分別交射線AB、AC于點(diǎn)F、G，連接BE．
（1）如圖（a）所示，當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上時(shí)．探究四邊形BCGE是怎樣特殊的四邊形？并說(shuō)明理由；
（2）如圖（b）所示，當(dāng)點(diǎn)D在BC的延長(zhǎng)線上運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，四邊形BCGE是菱形？并說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和全等三角形的判定方法首先證明△AEB≌△ADC，進(jìn)而證明EB∥GC，再由平行四邊形的證明方法即可證明四邊形BCGE是平行四邊形；
（2）當(dāng)CD=CB時(shí)，四邊形BCGE是菱形，由（1）可知△AEB≌△ADC，可得BE=CD，再證明BE=CB，即鄰邊相等的平行四邊形是菱形．

解答：證明：（1）∵△ABC和△ADE都是等邊三角形，
∴AE=AD，AB=AC，∠EAD=∠BAC=60°，
又∵∠EAB=∠EAD-∠BAD，∠DAC=∠BAC-∠BAD，
∴∠EAB=∠DAC，
∴△AEB≌△ADC（SAS），
∴∠ABE=∠C=60°．
又∵∠BAC=∠C=60°，
∴∠ABE=∠BAC，
∴EB∥GC，
又∵EG∥BC，
∴四邊形BCGE是平行四邊形；


（2）答：當(dāng)CD=CB時(shí)，四邊形BCGE是菱形．
理由：同（1），△AEB≌△ADC，
∴BE=CD，
又∵四邊形BCGE是菱形，
∴BE=CB，
∴CD=CB，即CD=CB時(shí)，四邊形BCGE是菱形．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考了平行線四邊形的判定和性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)以及菱形的判定，解題關(guān)鍵在于根據(jù)題意畫(huà)出圖形，通過(guò)求證三角形全等，推出等量關(guān)系，即可推出結(jié)論．