Question

如圖，在等腰梯形中，AC∥OB，OA＝BC．以O為原點，OB所在直線為x軸建立直角坐標系xoy，已知，B（8，0）．

（1）直接寫出點C的坐標；
（2）設為的中點，以為圓心，長為直徑作⊙D，試判斷點與⊙D的位置關系；
（3）在第一象限內確定點，使與相似，求出所有符合條件的點的坐標．

Answer 1

（1）C（6，）（2）點在⊙D上（3）（6，2），（8，8）（8，）

解：（1）C（6，）；....(3分)
（2）連結AD．

∵AC∥OB，即 AC∥BD．
又 D是圓心，∴DB＝OB＝4＝AC．
∴ ACBD是平行四邊形． ∴ AD＝CB＝AO．
過A作AE⊥OB于E．
在直角三角形AEO中，由勾股定理可求得 AO＝4．
∴ AD＝AO＝4＝OB．
∴ 點在⊙D上．....(7分)
（3）∵ 點在⊙D上，OB為直徑，∴ ∠OAB＝90⁰． 即△OAB是直角三角形．
故 符合題意的點M有以下3種情況：
① 當與△BAO相似時（如圖），則有 ．
∴ M₁B＝AO．
∵ CB＝AO，∴ M₁B＝CB． ∴點M₁與點C重合．
∴此時點的坐標為（6，2）；....(9分)
② 當與△OBA相似時，即過點作的垂線交的延長線于（如圖），
則有．
在直角三角形△OAB中，由勾股定理可求得 AB＝4．
∴ B＝8．
∴ 此時點的坐標為（8，8）．....(11分)
③ 當與△BOA相似時，即過點作的垂線交的延長線于（如圖），
則有．
∴ B＝．
∴ 此時點的坐標為（8，）．....(13分)
（1）已知四邊形OACB是等腰梯形，則根據A，B的坐標及等腰梯形的性質即可求得點C的坐標．
（2）連接AD，根據已知可推出四邊形ABCD是平行四邊形，過A作AE⊥OB于E，根據勾股定理即可注得AO的長，從而可判定點A在⊙D上．
（3）點A在⊙D上，OB為直徑，則可知△OAB是直角三角形，從而分情況進行分析即可．