Question

在平面直角坐標(biāo)系中，有一個(gè)矩形ABCD，四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為：A（4，0）、B（4，2）、C（8，2）、D（8，0），并且有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)P和Q．P從原點(diǎn)O出發(fā)，沿x軸正方向運(yùn)動(dòng)；Q從A點(diǎn)出發(fā)，沿折線A-B-C-D方向在矩形的邊上運(yùn)動(dòng)，且兩點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度均為每秒2個(gè)單位．當(dāng)Q到達(dá)D點(diǎn)時(shí)，P也隨之停止．設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為x．
（1）分別求出當(dāng)x=1和x=3時(shí)，對應(yīng)的△OPQ的面積；
（2）設(shè)△OPQ的面積為y，分別求出不同時(shí)段，y關(guān)于x的函數(shù)解析式，注明自變量的取值范圍．并求出在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，△OPQ的面積的最大值；
（3）在P、Q運(yùn)動(dòng)過程中，是否存在兩個(gè)時(shí)刻x₁和x₂，使得構(gòu)成相應(yīng)的△OP₁Q₁和△OP₂Q₂相似？若存在，直接寫出這兩個(gè)時(shí)刻，并證明兩個(gè)三角形相似；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)面積公式即可求出答案；
（2）在運(yùn)動(dòng)過程中看P、Q的位置，根據(jù)面積公式計(jì)算即可；
（3）利用勾股定理求出線段長，根據(jù)三邊對應(yīng)成比例，兩三角形相似即可得出結(jié)論．

解答：（1）解：當(dāng)x=1時(shí)，面積為：S=

1

2

×（4-2）×2=2，
當(dāng)x=3時(shí)，面積為S=

1

2

×（3×2）×2=6，
答：當(dāng)x=1時(shí)，△OPQ的面積是2，當(dāng)x=3時(shí)，△OPQ的面積是6．

（2）當(dāng)0≤x≤1時(shí)，y₁=

1

2

•2x•2x=2x^2，
∴^{，y₁=2x2，
同法可求：}
當(dāng)1≤x≤3時(shí)，y₂=2x；
當(dāng)3≤x≤4時(shí)，y₃=-2x²+8x）；
當(dāng)x=3時(shí)，面積的最大值是6，
答：y₁=2x²（0≤x≤1）；y₂=2x（1≤x≤3）；y₃=-2x²+8x（3≤x≤4）．在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，△OPQ的面積的最大值是6．

（3）當(dāng)x₁=1，x₂=2時(shí)，△OP₁Q₁和△OP₂Q₂相似．
因?yàn)?span dealflag="1" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">OP1=2，P1Q1=2

2

，OQ1=2

5

；OP2=4，P2Q2=2

2

，OQ2=2

10

所以：

OP1

Q2P2

=

P1Q1

P2O

=

OQ1

Q2O

，
所以△OP₁Q₁和△OP₂Q₂相似．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了二次函數(shù)，矩形的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)和判定，三角形的面積，勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，綜合運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算是解此題的關(guān)鍵．本題綜合性比較強(qiáng)，有一定的難度．