Question

已知菱形ABCD的邊長(zhǎng)為1，∠ADC=60°，等邊△AEF兩邊分別交邊DC、CB于點(diǎn)E、F。
（1）特殊發(fā)現(xiàn)：如圖1，若點(diǎn)E、F分別是邊DC、CB的中點(diǎn)，求證：菱形ABCD對(duì)角線AC、BD交點(diǎn)O即為等邊△AEF的外心；
（2）若點(diǎn)E、F始終分別在邊DC、CB上移動(dòng)，記等邊△AEF的外心為點(diǎn)P，
①猜想驗(yàn)證：如圖2，猜想△AEF的外心P落在哪一直線上，并加以證明；
②拓展運(yùn)用：如圖3，當(dāng)△AEF面積最小時(shí)，過(guò)點(diǎn)P任作一直線分別交邊DA于點(diǎn)M，交邊DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N，試判斷是否為定值，若是，請(qǐng)求出該定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由。

Answer 1

解：（1）證明：如圖1，分別連接OE、0F ∵四邊形ABCD是菱形 ∴AC⊥BD，BD平分∠ADC，AO=DC=BC ∴∠COD=∠COB=∠AOD=90°， ∠ADO=∠ADC=×60°=30° 又∵E、F分別為DC、CB中點(diǎn) ∴OE=CD，OF=BC，AO=AD ∴0E=OF=OA ∴點(diǎn)O即為△AEF的外心；

圖1

（2）①猜想：外心P一定落在直線DB上。 證明：如圖2，分別連接PE、PA， 過(guò)點(diǎn)P分別作PI⊥CD于I，P J⊥AD于J ∴∠PIE=∠PJD=90°， ∵∠ADC=60° ∴∠IPJ=360°-∠PIE-∠PJD-∠JDI=120° ∵點(diǎn)P是等邊△AEF的外心， ∴∠EPA=120°，PE=PA， ∴∠IPJ=∠EPA， ∴∠IPE=∠JPA ∴△PIE≌△PJA， ∴PI=PJ ∴點(diǎn)P在∠ADC的平分線上，即點(diǎn)P落在直線DB上。 ②為定值2， 當(dāng)AE⊥DC時(shí)，△AEF面積最小，此時(shí)點(diǎn)E、F分別為DC、CB中點(diǎn)， 連接BD、AC交于點(diǎn)P，由（1）可得點(diǎn)P即為△AEF的外心，如圖3，設(shè)MN交BC于點(diǎn)G 設(shè)DM=x，DN=y（x≠0．y≠0），則CN=y-1 ∵BC∥DA ∴△GBP∽△MDP ∴BG=DM=x ∴ ∵BC∥DA， ∴△GBP∽△NDM ∴， ∴ ∴ ∴，即。