Question

如圖，已知A₁，A₂，A₃，…A_n是x軸上的點，且OA₁=A₁A₂=A₂A₃=…=A_n-1A_n=1，分別過點A₁，A₂，A₃，…A_n作x軸的垂線交反比例函數(shù)y=

1

x

（x＞0）的圖象于點B₁，B₂，B₃，…B_n，過點B₂作B₂P₁⊥A₁B₁于點P₁，過點B₃作B₃P₂⊥A₂B₂于點P₂…，記△B₁P₁B₂的面積為S₁，△B₂P₂B₃的面積為S₂…，△B_nP_nB_n+1的面積為S_n，則S₁+S₂+S₃+…+S_n=

n

2(n+1)

．

Answer 1

分析：由OA₁=A₁A₂=A₂A₃=…=A_n-1A_n=1可知B₁點的坐標(biāo)為（1，y₁），B₂點的坐標(biāo)為（2，y₂），B₃點的坐標(biāo)為（3，y₃）…B_n點的坐標(biāo)為（n，y_n），把x=1，x=2，x=3代入反比例函數(shù)的解析式即可求出y₁、y₂、y₃的值，再由三角形的面積公式可得出S₁、S₂、S₃…S_n的值，故可得出結(jié)論．

解答：解：∵OA₁=A₁A₂=A₂A₃=…=A_n-1A_n=1，
∴設(shè)B₁（1，y₁），B₂（2，y₂），B₃（3，y₃），…B_n（n，y_n），
∵B₁，B₂，B₃…Bn在反比例函數(shù)y=

1

x

（x＞0）的圖象上，
∴y₁=1，y₂=

1

2

，y₃=

1

3

…y_n=

1

n

，
∴S₁=

1

2

×1×（y₁-y₂）=

1

2

×1×（1-

1

2

）=

1

2

（1-

1

2

）；
S₂=

1

2

×1×（y₂-y₃）=

1

2

×（

1

2

-

1

3

）；
S₃=

1

2

×1×（y₃-y₄）=

1

2

×（

1

3

-

1

4

）；
…
S_n=

1

2

（

1

n

-

1

n+1

），
∴S₁+S₂+S₃+…+S_n=

1

2

（1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

n

-

1

n+1

）=

n

2(n+1)

．
故答案為：

n

2(n+1)

．

點評：本題考查的是反比例函數(shù)綜合題，熟知反比例函數(shù)圖象上各點的坐標(biāo)一定適合此函數(shù)的解析式是解答此題的關(guān)鍵．