Question

如圖，有一圓錐形糧堆，其正視圖是邊長為6m的正三角形ABC，糧堆母線AC的中點P處有一老鼠正在偷吃糧食，此時，小貓正在B處，它要沿圓錐側(cè)面到達P處捕捉老鼠，則小貓所經(jīng)過的最短路程是

 

m．（結(jié)果不取近似值）

Answer 1

分析：求這只小貓經(jīng)過的最短距離的問題首先應轉(zhuǎn)化為圓錐的側(cè)面展開圖的問題，轉(zhuǎn)化為平面上兩點間的距離的問題．根據(jù)圓錐的軸截面是邊長為6cm的等邊三角形可知，展開圖是半徑是6的半圓．點B是半圓的一個端點，而點P是平分半圓的半徑的中點，根據(jù)勾股定理就可求出兩點B和P在展開圖中的距離，就是這只小貓經(jīng)過的最短距離．

解答：解：圓錐的底面周長是6π，則6π=

nπ×6

180

，
∴n=180°，即圓錐側(cè)面展開圖的圓心角是180度．
則在圓錐側(cè)面展開圖中AP=3，AB=6，∠BAP=90度．
∴在圓錐側(cè)面展開圖中BP=

32+62

=

45

=3

5

m．
故小貓經(jīng)過的最短距離是3

5

m．
故答案是：3

5

．

點評：正確判斷小貓經(jīng)過的路線，把曲面的問題轉(zhuǎn)化為平面的問題是解題的關鍵．