正方形ABCD中,點(diǎn)E、F分別是邊AD、AB的中點(diǎn),連接EF.
(1)如圖1,若點(diǎn)G是邊BC的中點(diǎn),連接FG,則EF與FG關(guān)系為: ;
(2)如圖2,若點(diǎn)P為BC延長(zhǎng)線上一動(dòng)點(diǎn),連接FP,將線段FP以點(diǎn)F為旋轉(zhuǎn)中心,逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)900,得到線段FQ,連接EQ,請(qǐng)猜想EF、EQ、BP三者之間的數(shù)量關(guān)系,并證明你的結(jié)論;
(3)若點(diǎn)P為CB延長(zhǎng)線上一動(dòng)點(diǎn),按照(2)中的作法,在圖3中補(bǔ)全圖形,并直接寫(xiě)出EF、EQ、BP三者之間的數(shù)量關(guān)系: .
解:(1)垂直且相等。
(2)EF、EQ、BP三者之間的數(shù)量關(guān)系為:。
證明如下:
如圖,取BC的中點(diǎn)G,連接FG,
由(1)得EF=FG,EF⊥FG,
根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),F(xiàn)P=FQ,∠PFQ =90°。
∴∠GFP=∠GFE—∠EFP=90°—∠EFP,
∠EFQ=∠PFQ—∠EFP=90°—∠EFP。
∴∠GFP=∠EFQ。
在△FQE和△FPG中,∵EF=GF,∠EFQ=∠GFP,F(xiàn)Q = FP,
∴△FQE≌△FPG(SAS)!郋Q=GP。
∴。
(3)補(bǔ)圖如下,F(xiàn)、EQ、BP三者之間的數(shù)量關(guān)系為:。
【解析】
試題分析:(1)EF與FG關(guān)系為垂直且相等(EF=FG且EF⊥FG)。證明如下:
∵點(diǎn)E、F、G分別是正方形邊AD、AB、BC的中點(diǎn),
∴△AEF和△BGD是兩個(gè)全等的等腰直角三角形。
∴EF=FG,∠AFE=∠BFG=45°!唷螮FG=90°,即EF⊥FG。
(2)取BC的中點(diǎn)G,連接FG,則由SAS易證△FQE≌△FPG,從而EQ=GP,因此。
(3)同(2)可證△FQE≌△FPG(SAS),得EQ=GP,因此,
。
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