Question

已知，矩形ABCD 中，AB=4cm，BC=8cm，AC的垂直平分線EF 分別交AD、BC于點(diǎn)E、F，垂足為O。
(1)如圖1，連接AF、CE，求證四邊形AFCE為菱形，并求AF的長(zhǎng)；    
(2)如圖2，動(dòng)點(diǎn)P、Q分別從A、C兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，沿△AFB和△CDE各邊勻速運(yùn)動(dòng)一周，即點(diǎn)P自A→F→B→A停止，點(diǎn)Q自C→D→E→C停止，在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中：    
①已知點(diǎn)P的速度為每秒5cm，點(diǎn)Q的速度為每秒4cm，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，當(dāng)A、C、P、Q四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊是平行四邊形時(shí)，求t的值；
③若點(diǎn)P、Q的運(yùn)動(dòng)路程分別為a、b（單位：cm，ab≠0），已知 A、C、P、Q 四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求a與b 滿足的數(shù)量關(guān)系式.

Answer 1

解：(1)證明：
①∵四邊形ABCD是矩形，   
∴AD//BC.     
∴∠CAD=∠ACB,  ∠AEF=∠CFE,    
∵EF垂直平分AC，垂足為O，  
∴OA=OC，    
∴△AOE全等△COF，    
∴OE= OF，    
∴四邊形AFCE為平行四邊形，    
又∵EF⊥AC，    
∴四邊形AFCE為菱形.   
 ②設(shè)菱形的邊長(zhǎng)AF=CF=xcm，則BF=(8-x)cm，    
在Rt△ABF中，AB=4cm，    
由勾股定理得：4²+ (8-x)² =x²，
解得：x=5
∴ AF=5 cm-    
(2)①顯然當(dāng)P點(diǎn)在AF上時(shí)，Q點(diǎn)在CD上
此時(shí)A、C、P、Q四點(diǎn)不可能構(gòu)成平行四邊形；
同理P點(diǎn)在AB上時(shí)，Q點(diǎn)在DE或CE上，也不能構(gòu)成平行四邊形
因此只有當(dāng)P點(diǎn)在BF上、Q點(diǎn)在ED上時(shí)，才能構(gòu)成平行四邊形。
∴以 A、C、P、Q四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí).PC=QA.     
∵點(diǎn)P的速度為每秒5cm，點(diǎn)Q的速度為每秒4cm，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t 秒，  
 ∴PC=5t ，QA= 12-4t.  
∴5t= 12-4t，
解得：
∴以 A、C、P、Q四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)
   
 ②由題意得，以 A、C、P、Q 四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，點(diǎn) P、Q在互相平行的對(duì)應(yīng)邊上，分三種情況：   
i）如圖1，當(dāng)P點(diǎn)在AF 上、Q點(diǎn)在CE上時(shí).AP= CQ，即a= 12 - b ,得a + b= 12.  
ii）如圖2，當(dāng)P點(diǎn)在BF 上、Q點(diǎn)在DE上時(shí).AQ= CP，即12 - b= a , 得a+ b= 12.   
iii）如圖3，當(dāng)P點(diǎn)在AB 上、Q點(diǎn)在CD上時(shí).AP= CQ，即12-a--=b,得 a+b=12.    
綜上所述，a 與b 滿足的數(shù)量關(guān)系式是a十b=12(ab≠0).