Question

如圖，四邊形ABCD是菱形，點G是BC延長線上一點，連接AG，分別交BD、CD于點E、F，連接CE．
（1）求證：∠DAE=∠DCE；
（2）當AE=2EF時，判斷FG與EF有何等量關系？并證明你的結論．

Answer 1

分析：（1）根據四邊形ABCD是菱形可得出△ADE≌△CDE就可證明；
（2）根據有兩組角對應相等的兩個三角形相似得到△CEF∽△GEC，可得EF：EC=CE：GE，又因為△ABE≌△CBE AE=2EF，就能得出FG=3EF．

解答：（1）證明：∵四邊形ABCD是菱形，
∴AD=CD，∠ADE=∠CDB；
在△ADE和△CDE中，

AD=CD ∠ADE=∠CDB DE=DE

∴△ADE≌△CDE，
∴∠DAE=∠DCE．

（2）解：判斷FG=3EF．
∵四邊形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，
∴∠DAE=∠G，
由題意知：△ADE≌△CDE
∴∠DAE=∠DCE，
則∠DCE=∠G，
∵∠CEF=∠GEC，
∴△ECF∽△EGC，
∴

EF

EC

=

EC

EG

，
∵△ADE≌△CDE，
∴AE=CE，
∵AE=2EF，
∴

EF

AE

=

AE

EG

=

1

2

，
∴EG=2AE=4EF，
∴FG=EG-EF=4EF-EF=3EF．

點評：此題主要考查菱形的性質及相似三角形的判定定理及性質．