Question

（2009•井研縣一模）如圖，已知：A（m，2）是一次函數(shù)y=kx+b與反比例函數(shù)y=的交點(diǎn)
（1）求m的值；
（2）若該一次函數(shù)分別與x軸y軸交于E、F兩點(diǎn)，且直角△EOF的外心為點(diǎn)A．試求它的解析式；
（3）在的圖象上另取一點(diǎn)B，作BK⊥x軸于K，將（2）中的一次函數(shù)圖象繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)后所得的直線記為l，若l與y軸的正半軸交于點(diǎn)C，且4CO=FO．試問(wèn)：在y軸上是否存在點(diǎn)P，使得兩個(gè)三角形的面積S_△PCA=S_△BOK？若存在，求點(diǎn)P的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)反比例函數(shù)的解析式求得m的值；
（2）根據(jù)直角三角形的外心是直角三角形的斜邊的中點(diǎn)，由點(diǎn)A的坐標(biāo)根據(jù)三角形的中位線定理可以求得點(diǎn)E，F(xiàn)的坐標(biāo)，從而求得直線的解析式；
（3）根據(jù)反比例函數(shù)的解析式，得△BOK的面積是．再根據(jù)點(diǎn)A的橫坐標(biāo)，知PC的長(zhǎng)應(yīng)是2．根據(jù)題意可以首先求得點(diǎn)C的坐標(biāo)，再根據(jù)點(diǎn)P可能在點(diǎn)C的上方或下方進(jìn)行分析．
解答：解：（1）把點(diǎn)A（m，2）代入反比例函數(shù)y=中，得（2分）

（2）根據(jù)直角三角形的外心是直角三角形的斜邊的中點(diǎn)，則點(diǎn)A是EF的中點(diǎn)．又A（，2），
∴E（3，0），F(xiàn)（0，4）
把E，F(xiàn)代入，得．解得
∴（3分）

（3）原直線繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)所得直線交y軸的正半軸于C，且
得C（0，1）
∵B（x_B，y_B）在y=上，則有x_B•y_B=3，
由題意有（4分）
設(shè)y軸上點(diǎn)P（0，y_P），滿足S_△PCA=S_△BOK
①若點(diǎn)P在點(diǎn)C上方，即y＞1，有
∴y=3，此時(shí)P（0，3）（3分）；
②若點(diǎn)P在點(diǎn)C下方，即y＜1，有
∴y=-1，此時(shí)P（0，-1）（2分）．
點(diǎn)評(píng)：能夠根據(jù)函數(shù)的解析式求得點(diǎn)的坐標(biāo)，能夠根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)求得函數(shù)的解析式；掌握直角三角形的外心的位置；平行于x軸的線段的長(zhǎng)等于兩個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)的差的絕對(duì)值，平行于y軸的線段的長(zhǎng)度等于兩個(gè)點(diǎn)的縱坐標(biāo)的差的絕對(duì)值．