【題目】如圖,已知AB是⊙O的直徑,F是⊙O上一點(diǎn),∠BAF的平分線交⊙O于點(diǎn)E,交⊙O的切線BC于點(diǎn)C,過(guò)點(diǎn)EEDAF,交AF的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D

(1)求證:DE是⊙O的切線;

(2)若DE=3,CE=2,

①求值;

②若點(diǎn)GAE上一點(diǎn),求OG+EG最小值.

【答案】(1)證明見解析(2)① ②3

【解析】

1)作輔助線,連接OE.根據(jù)切線的判定定理,只需證DEOE即可;

2)①連接BE.根據(jù)BCDE兩切線的性質(zhì)證明△ADE∽△BEC;又由角平分線的性質(zhì)、等腰三角形的兩個(gè)底角相等求得△ABE∽△AFD,所以;

②連接OF,交AD于H,由①得∠FOE=∠FOA=60°,連接EF,則△AOF、△EOF都是等邊三角形,故四邊形AOEF是菱形,由對(duì)稱性可知GO=GF,過(guò)點(diǎn)G作GM⊥OE于M,則GM=EG,OG+EG=GF+GM,根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短,當(dāng)F、G、M三點(diǎn)共線,OG+EG=GF+GM=FM最小,此時(shí)FM =3.故OG+EG最小值是3.

(1)連接OE

OA=OE,∴∠AEO=EAO

∵∠FAE=EAO,∴∠FAE=AEO

OEAF

DE⊥AF,∴OEDE

DE是⊙O的切線

(2)①解:連接BE

∵直徑AB ∴∠AEB=90°

∵圓O與BC相切

∴∠ABC=90°

∵∠EAB+EBA=EBA+CBE=90°

∴∠EAB=CBE

∴∠DAE=CBE

∵∠ADE=BEC=90°

∴△ADE∽△BEC

②連接OF,交AD于H

由①,設(shè)BC=2x,則AE=3x

∵△BEC∽△ABC

解得:x1=2,(不合題意,舍去)

AE=3x=6,BC=2x=4,AC=AE+CE=8

AB=,∠BAC=30°

∴∠AEO=EAO=EAF=30°,∴∠FOE=2FAE=60°

∴∠FOE=FOA=60°,連接EF,則△AOF、△EOF都是等邊三角形,∴四邊形AOEF是菱形

由對(duì)稱性可知GO=GF,過(guò)點(diǎn)G作GM⊥OE于M,則GM=EG,OG+EG=GF+GM,根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短,當(dāng)F、G、M三點(diǎn)共線,OG+EG=GF+GM=FM最小,此時(shí)FM=FOsin60o=3.

OG+EG最小值是3.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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【題目】如圖,已知拋物線y=﹣x2+bx+c與一直線相交于A1,0)、C(﹣2,3)兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)N,其頂點(diǎn)為D

1)求拋物線及直線AC的函數(shù)關(guān)系式;

2)若P是拋物線上位于直線AC上方的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),求APC的面積的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo);

3)在對(duì)稱軸上是否存在一點(diǎn)M,使ANM的周長(zhǎng)最。舸嬖,請(qǐng)求出M點(diǎn)的坐標(biāo)和ANM周長(zhǎng)的最小值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】如圖1,AB為半圓O的直徑,D為BA的延長(zhǎng)線上一點(diǎn),DC為半圓O的切線,切點(diǎn)為C.

(1)求證:∠ACD=∠B;

(2)如圖2,∠BDC的平分線分別交AC,BC于點(diǎn)E,F(xiàn);

①求tan∠CFE的值;

②若AC=3,BC=4,求CE的長(zhǎng).

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,直線l的函數(shù)表達(dá)式為y=x,點(diǎn)O1的坐標(biāo)為(1,0),以O1為圓心,O1O為半徑畫半圓,交直線l于點(diǎn)P1,交x軸正半軸于點(diǎn)O2,由弦P1O2圍成的弓形面積記為S1,以O2為圓心,O2O為半徑畫圓,交直線l于點(diǎn)P2,交x軸正半軸于點(diǎn)O3,由弦P2O3和圍成的弓形面積記為S2,以O3為圓心,O3O為半徑畫圓,交直線l于點(diǎn)P3,交x軸正半軸于點(diǎn)O4,由弦P3O4圍成的弓形面積記為S3;按此做法進(jìn)行下去,其中S2018的面積為__________

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】如圖所示,直線yx與反比例函數(shù)yk0,x0)的圖象交于點(diǎn)Q4,a),點(diǎn)Pm,n)是反比例函數(shù)圖象上一點(diǎn),且n2m

1)求點(diǎn) P坐標(biāo);

2)若點(diǎn)Mx軸上,使得△PMQ的面積為3,求M坐標(biāo).

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一節(jié)數(shù)學(xué)課上,老師提出了這樣一個(gè)問(wèn)題:如圖1,點(diǎn)P是正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn),PA=1,PB=2,PC=3.你能求出∠APB的度數(shù)嗎?

小明通過(guò)觀察、分析、思考,形成了如下思路:

思路一:將BPC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,得到BP′A,連接PP′,求出∠APB的度數(shù);

思路二:將APB繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,得到CP'B,連接PP′,求出∠APB的度數(shù).

請(qǐng)參考小明的思路,任選一種寫出完整的解答過(guò)程.

(類比探究)

如圖2,若點(diǎn)P是正方形ABCD外一點(diǎn),PA=3,PB=1,PC=,求∠APB的度數(shù).

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已知拋物線與其夢(mèng)想直線交于A、B兩點(diǎn)點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè),與x軸負(fù)半軸交于點(diǎn)C

填空:該拋物線的夢(mèng)想直線的解析式為______,點(diǎn)A的坐標(biāo)為______,點(diǎn)B的坐標(biāo)為______;

如圖,點(diǎn)M為線段CB上一動(dòng)點(diǎn),將AM所在直線為對(duì)稱軸翻折,點(diǎn)C的對(duì)稱點(diǎn)為N,若為該拋物線的夢(mèng)想三角形,求點(diǎn)N的坐標(biāo);

當(dāng)點(diǎn)E在拋物線的對(duì)稱軸上運(yùn)動(dòng)時(shí),在該拋物線的夢(mèng)想直線上,是否存在點(diǎn)F,使得以點(diǎn)A、C、EF為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形?若存在,請(qǐng)直接寫出點(diǎn)E、F的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】如圖,已知AB是半圓O的直徑,OCAB交半圓于點(diǎn)CD是射線OC上一點(diǎn),連結(jié)AD交半圓O于點(diǎn)E,連結(jié)BE,CE

1)求證:EC平分∠BED

2)當(dāng)EBED時(shí),求證:AECE

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【題目】如圖,已知二次函數(shù)的圖象與軸交于點(diǎn)-1,0),與軸的交點(diǎn)在0,-2)和(0,-1)之間(不包括這兩點(diǎn)),對(duì)稱軸為直線,下列結(jié)論不正確的是(

A.B.C.D.

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