Question

已知，如圖：AB為⊙O的直徑，AB=AC，BC交⊙O于點(diǎn)D，AC交⊙O于點(diǎn)E，∠BAC=45°．給出以下四個(gè)結(jié)論：①∠EBC=22.5°；②BD=DC；③劣弧

AE

是劣弧

DE

的2倍；④AE=BC．其中正確結(jié)論的序號(hào)是

①②③

．

Answer 1

分析：首先連接AD，OE，OD，由直徑對(duì)的圓周角是直角，即可求得∠ADB=∠AEB=90°，又由AB=AC，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)，即可求得BD=DC，求得∠ABC與∠ABE的度數(shù)，則可得①②正確，又可求得∠AOE與∠DOE的度數(shù)，根據(jù)弧與圓心角的關(guān)系，即可得③正確．

解答：解：連接AD，OE，OD，
∵AB為⊙O的直徑，
∴∠ADB=∠AEB=90°，
即AD⊥BC，
∵AB=AC，
∴BD=DC；
故②正確；
∵∠BAC=45°，
∴∠ABC=∠ACB=67.5°，∠ABE=90°-∠BAC=45°，
∴∠EBC=∠ABC-∠ABE=22.5°；
故①正確；
∵∠DOE=2∠BAD=∠BAC=45°，∠AOE=2∠ABE=90°，
∴∠AOE=2∠DOE，
∴劣弧

AE

是劣弧

DE

的2倍；
故③正確；
∵∠BEC=∠AEB=90°，∠ABE=45°，∠EBC=22.5°，
∴△AEB不一定全等于△BCE，
∴AE不一定等于BC．
故④錯(cuò)誤．
故答案為：①②③．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了圓周角定理、弧與圓心角的關(guān)系、等腰三角形的性質(zhì)以及直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)．此題綜合性較強(qiáng)，難度適中，解題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確作出輔助線，掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．