Question

如圖，△ABC中，以B為圓心，BC長為半徑的⊙B交邊AB于D，AE⊥AB交CD的延長線于E，并且AE=AC．
（1）證明AC是⊙B的切線；
（2）探究DE•DC與2AD•DB是否相等，并說明理由；
（3）如果DE•DC=8，且BC=4，求CD的長．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意可得∠BCD=∠BDC，∠ACE=∠AEC，再由∠AEC+∠ADE=90°，可得∠ACE+∠BCD=90°，繼而可證明結論；
（2）延長DB交⊙B于點F，連接CF，證明△ADE∽△CDF，可得出結論；
（3）由（2）的結論，可求出AD=1，利用切割線定理求出AC，在Rt△ADE中求出DE，繼而可得出CD的長度．

解答：解：（1）∵AE=AC，
∴∠ACE=∠AEC，
∵BD=BC（都為⊙B的半徑），
∴∠BCD=∠BDC，
又∵∠AEC+∠ADE=90°，∠ADE=∠BDC（對頂角相等），
∴∠AEC+∠BDC=90°，
∴∠ACE+∠BCD=90°，即∠ACB=90°，
∴AC是⊙B的切線．

（2）延長DB交⊙B于點F，連接CF，
∵∠DAE=90°=∠DCF=90°，∠ADE=∠CDF，
∴△ADE∽△CDF，
∴

AD

CD

=

DE

DF

，
即CD×DE=AD×DF，
又∵DF=2BD，
∴CD×DE=2BD×AD，
∴DE•DC與2AD•DB相等；

（3）由（2）得：DE•DC=2AD•DB=8，
又∵BD=BC=4，
∴AD=1，
∴AF=AD+DF=1+8=9，
∵AC²=AD×AF（切割線定理），
∴AC=3，
∴AE=3，
在Rt△ADE中，DE=

AE2+AD2

=

10

，
∴CD=

8

10

=

4 10

5

．

點評：本題考查了圓的綜合，涉及了相似三角形的判定與性質，切線的判定及切割線定理，第二問的解答是本題的關鍵，注意作出輔助線，將2BD轉化為DF，難度較大．