Question

（2012•拱墅區(qū)二模）已知△ABC中，∠A=α．在圖（1）中∠B、∠C的角平分線交于點(diǎn)O₁，則可計算得∠BO₁C=90°+

1

2

α；在圖（2）中，設(shè)∠B、∠C的兩條三等分角線分別對應(yīng)交于O₁、O₂，則∠BO₂C=

60°+

2

3

α

；請你猜想，當(dāng)∠B、∠C同時n等分時，（n-1）條等分角線分別對應(yīng)交于O₁、O₂，…，O_n-1，如圖（3），則∠BO_n-1C=

(n-1)α

n

+

180°

n

（用含n和α的代數(shù)式表示）．

Answer 1

分析：根據(jù)三角形的內(nèi)角和等于180°用α表示出（∠ABC+∠ACB），再根據(jù)三等分的定義求出（∠O₂BC+∠O₂CB），在△O₂BC中，利用三角形內(nèi)角和定理列式整理即可得解；
根據(jù)三角形的內(nèi)角和等于180°用α表示出（∠ABC+∠ACB），再根據(jù)n等分的定義求出（∠O_n-1BC+∠O_n-1CB），在△O_n-1BC中，利用三角形內(nèi)角和定理列式整理即可得解．

解答：解：在△ABC中，∵∠A=α，
∴∠ABC+∠ACB=180°-α，
∵O₂B和O₂C分別是∠B、∠C的三等分線，
∴∠O₂BC+∠O₂CB=

2

3

（∠ABC+∠ACB）=

2

3

（180°-α）=120°-

2

3

α；
∴∠BO₂C=180°-（∠O₂BC+∠O₂CB）=180°-（120°-

2

3

α）=60°+

2

3

α；

在△ABC中，∵∠A=α，
∴∠ABC+∠ACB=180°-α，
∵O_n-1B和O_n-1C分別是∠B、∠C的n等分線，
∴∠O_n-1BC+∠O_n-1CB=

n-1

n

（∠ABC+∠ACB）=

n-1

n

（180°-α）=

180°(n-1)

n

-

(n-1)α

n

．
∴∠BO_n-1C=180°-（∠O_n-1BC+∠O_n-1CB）=180°-（

180°(n-1)

n

-

(n-1)α

n

）=

(n-1)α

n

+

180°

n

．
故答案為：60°+

2

3

α；

(n-1)α

n

+

180°

n

．

點(diǎn)評：本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，角平分線的定義，以及三等分線，n等分線的定義，整體思想的利用是解題的關(guān)鍵．