Question

【題目】如圖，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，CE與BD相交于點M，BD交AC于點N.

（1）證明：BD＝CE；

（2）證明：BD⊥CE．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析．

【解析】

（1）要證明BD＝CE，只要證明△ABD≌△ACE即可，兩三角形中，已知的條件有AD＝AE，AB＝AC，那么只要再得出兩對應邊的夾角相等即可得出三角形全等的結(jié)論.我們發(fā)現(xiàn)∠BAD和∠EAC都是90°加上一個

∠CAD，因此∠CAE＝∠BAD.由此構(gòu)成了兩三角形全等中的（SAS）因此兩三角形全等.

（2）要證BD⊥CE，只要證明∠BMC是個直角就行了.由（1）得出的全等三角形我們可知：

∠ABN＝∠ACE，三角形ABC中，∠ABN+∠CBN+∠BCN＝90°，根據(jù)上面的相等角，我們可得出∠ACE+∠CBN+∠BCN＝90°，即∠ABN+∠ACE＝90°，因此∠BMC就是直角.

證明：（1）∵∠BAC＝∠DAE＝90°

∴∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD

即∠CAE＝∠BAD

在△ABD和△ACE中

∴△ABD≌△ACE（SAS）

∴BD＝CE

（2）∵△ABD≌△ACE

∴∠ABN＝∠ACE

∵∠ANB＝∠CND

∴∠ABN+∠ANB＝∠CND+∠NCE＝90°

∴∠CMN＝90°

即BD⊥CE.