【題目】如圖,BD是正方形ABCD的對(duì)角線,BC=2,邊BC在其所在的直線上平移,將通過(guò)平移得到的線段記為PQ,連接PA、QD,并過(guò)點(diǎn)QQO⊥BD,垂足為O,連接OA、OP.

(1)請(qǐng)直接寫出線段BC在平移過(guò)程中,四邊形APQD是什么四邊形?

(2)請(qǐng)判斷OA、OP之間的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系,并加以證明;

(3)在平移變換過(guò)程中,設(shè)y=SOPB,BP=x(0≤x≤2),求yx之間的函數(shù)關(guān)系式,并求出y的最大值.

【答案】(1)四邊形APQD為平行四邊形;(2)OA=OP,OAOP;(3) ,當(dāng)x=2時(shí),y有最大值為2.

【解析】

試題(1)根據(jù)平移的性質(zhì),可得PQ,根據(jù)一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形,可得答案;
(2)根據(jù)正方形的性質(zhì),平移的性質(zhì),可得PQAB的關(guān)系,根據(jù)等腰直角三角形的判定與性質(zhì),可得∠PQO,根據(jù)全等三角形的判定與性質(zhì),可得AOOP的數(shù)量關(guān)系,根據(jù)余角的性質(zhì),可得AOOP的位置關(guān)系;
(3)根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì),可得OE的長(zhǎng),根據(jù)三角形的面積公式,可得二次函數(shù),根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì),可得到答案.

試題解析:

(1)四邊形APQD為平行四邊形.

(2)OAOP,OAOP.理由如下:

∵四邊形ABCD是正方形,

ABBCPQ,∠ABO=∠OBQ=45°.

OQBD,∴∠PQO=45°,

∴∠ABO=∠OBQ=∠PQO,∴OBOQ,

∴△AOB≌△OPQ(SAS).

OAOP,∠AOB=∠POQ,

∴∠AOP=∠BOQ=90°,∴OAOP.

(3)如解圖,過(guò)點(diǎn)OOEBC于點(diǎn)E.

①當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)B右側(cè)時(shí),

BQx+2,OE,

y··x

.

又∵0≤x≤2,

∴當(dāng)x=2時(shí),y有最大值2.

②如解圖②,當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)B左側(cè)時(shí),

BQ=2-xOE,

y··x

=-.

又∵0≤x≤2,

∴當(dāng)x=1時(shí),y有最大值.

綜上所述,y的最大值為2.

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時(shí)間(天)

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

人 數(shù)

1

2

4

5

7

11

8

6

4

2

(1)在這個(gè)統(tǒng)計(jì)中,眾數(shù)是 ,中位數(shù)是 ;

(2)補(bǔ)全下面的頻率分布表和頻率分布直方圖:

分組

頻數(shù)

頻率

3.5~5.5

3

0.06

5.5~7.5

9

0.18

7.5~9.5

0.36

9.5~11.5

14

11.5~13.5

6

0.12

合 計(jì)

50

1.00

(3)請(qǐng)你估算這所學(xué)校該年級(jí)的學(xué)生中,每學(xué)期參加社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)時(shí)間不少于9天的大約有多少人?

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